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1、线性代数讲稿 许 茜 使用教材：线性代数 同济第四版第一章 行列式目标：1）理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法；2）利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单阶行列式。3）掌握克拉默法则。1.1 全排列与逆序数 知识点：排列、逆序1、 引例：用1、2、3三个数字，可以组成多少没有重复数字的三位数？思考：百位：可以从1、2、3中任选一个，所以有三种排法 十位：在百位数字确定的情况下，只有从剩下的两个数字中任选一个，所以有两种选法；如：百位为1，十位只能取2或3 个位：在百位、十位数字都确定情况下，个位只有一种取法所以，共有321=6种排法。即： 123，132， 213，23
2、1， 312，321 例1 互异元素构成的不同排列有 种？ 解 在个元素中任选1个放在第一位，有种取法 在剩余个元素中任选1个放在第二位，有种取法 在剩余个元素中任选1个放在第三位，有种取法 在剩余2个元素中选取1个 2种取法 在剩余1个元素中选取1个 1种取法于是，n 个不同元素排成一排总共有n(n-1)(n-2) 21=种排法2标准排列：个不同的自然数从小到大构成的排列 个不同的元素按照某种约定次序构成的排列 （本讲义中指第一种定义）3逆序数： (1) 某两个数（元素）的先后次序与标准次序不同时, 称这两个数（元素） 之间有1个逆序 (2) 排列中逆序的总和称为排列的逆序数, 记作（3）逆
3、序数的计算方法： 例2 求排列32451中的逆序数解：3排在首位，前面没有比他大的数字，所以逆序数为0； 2前面比他大的数字有一个3，所以2的逆序数为1； 4前面没有比他大的数字，所以逆序数为0；5前面没有比他大的数字，所以逆序数为0；1前面比他大的数字有四个为3、2、4、5，所以逆序数为4； 所以 4排列的奇偶性：排列 奇数时, 称为奇排列；偶数时, 称为偶排列例t(1324)=1奇数，所以排列1324为奇排列 t(2431)=4 偶数，所以排列2431为偶排列。小结：作业：习题一：21.2 行列式的定义 知识点: 阶行列式的定义（通过三阶行列式的三个特征引进）； 一、二三阶行列式1、二阶行
4、列式：四个数排成2行2列的数表（横为行，竖为列） 表达式成为该表所确定的二阶行列式，记作： 。其中，称为元素，每个元素都有两个脚标，前脚标为行标，指明该元素所在的行；后脚标为列标，指明该元素所在的列。元素可记作：，i为元素的行标，j为列标例如：行列式 中元素0位于第2行第1列；第一行第二列的元素为3。 2、 二阶行列式的计算（对角线法则） 副对角线 主对角线结论： 二列式等于主对角线上两元素之积减去副对角线上两元素之积。 例1、计算下列二阶行列式的值 3、三阶行列式定义：9个数排成3行3列的数表记 为上表所确定的三阶行列式4、三阶行列式的计算（对角线法则）+ 结论：（1）三阶行列式的表达式中共
5、有3！项； （2）每项都是三个元素的乘积，且这三个元素来自不同行、不同列； （3）每项都可以写成，其中是1、2、3的一个排列（正负号除外）； （4）排列偶数，该项前面取“+”； 排列奇数，该项前面取“-”。 于是 , 5、阶行列式：个数, 称 为阶行列式, 它表示数值 , 其中, 求和式中共有项，同样，每项都是来自不同行不同列的n个元素的乘积例1、（1）乘积 是否为四阶行列式中的项？ （2）在四阶行列式中，项前面应取的正负号是 解：（1）在乘积中，元素行标同为2，说明两元素都来自第2行，所以不是四阶行列式中的项。 （2）适当交换所给项中各元素的次序，使得他们的行标按顺序排列，得到，此时，列表的
6、逆序数为t(2413)=3 是奇数，因而项 前面应取“负号”例2、 计算, . 解 中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为 , 故 中只有一项不显含0, 且列标构成排列的逆序数为 故 结论：以主对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素 的乘积 以副对角线为分界线的上(下)三角行列式的值等于副对角线上元素的乘积, 并冠以符号 特例：，小结：作业：习题一 11.3 行列式的性质知识点: 行列式的六大性质（通过例子介绍性质的应用） 性质1： 设, , 则 例： 性质2：任意交换行列式的两行（列），行列式变号。设, , 则例： 性质3：行列时的值等于0的情况：1、有一行（列）的
7、元素全为0；2、有两行（列）的元素相等；3、有两行（列）的元素对应成比例。例：（对于任意的a、b、c均成立）性质4：行列式任意一行的公因子可以提到行列式的外面。 例如：性质5：行列式任意一行（列）的k倍加到另一行（列）上，行列时的值不变。例如：性质6： 若对某个, 有, 则 （二）性质的应用例1、已知三阶行列式，求下列行列式的值 解：（1）第一行与第二行交换位置，依行列式性质，行列式变号所以例2、计算下列四阶行列式 解： 例3、 计算. 解：第一行的-2倍加到第二行上；第一行的-3倍加到第三行上；第一行的-4倍加到第四行上（第二行和第四行交换位置）（第二行的-2倍加到第四行上）（第三行的倍加到
8、第四行上）（此题利用性质化成三角行列式计算）小结：计算行列式时，根据行列式特点将其划成对角行列式或三角行列式 例2、 计算 解 ：此行列式的特点是各行（列）的和相同，都是，故把第2、3、4行同时加到第一行，提出公因子，然后第一行的倍分别加到第2、3、n行上 小结：1.4 行列式按行（列）展开知识点: 余子式； 代数余子式； 展开定理。三对角行列式的计算。 余子式：在阶行列式中，将元素所在的行与列上的元素划去，其余 元素按照原来的相对位置构成的阶行列式，称为元素的余子式，记作代数余子式：元素的代数余子式例如：，代数余子式例1、 已知四阶行列式解：在所给四节行列式D中，划掉元素所在的第2行与第3列
9、，剩余元素构成的三阶行列式为元素的余子式，即展开定理： 例1、 计算 解：第一行的5倍加到第三行，第一行的-1倍加到第四行，按第二列展开（第二行的2倍加到第一行，-4倍加到第三行，在按第二列展开） 小结：计算行列式时，若行列式中零元素较少，可以先用行列式的性质将行列式中某一行（列）的元素尽可能多的化为0 ，然后按这一行（列）展开，变为低一阶的行列式，如此循环，直到化为三角行列式或二阶行列式，求得结果。范德蒙行列式.例如， 作业：P26 4；7（1）（2）1.7 克拉默法则知识点: Cramer法则; 应用于齐次线性方程组。 1、考虑线性方程组 线性的含义是指方程组关于未知量都是一次（线性）的。
10、称作元线性方程组。系数行列式 第行元素即为第个方程的系数；第列元素即为第个未知量前的系数。 定理： 若, 则方程组存在唯一解. 其中， 例1、解线性方程组 解：计算系数行列式 说明此线性方程组由唯一解，在计算行列式所以此线性方程组的唯一解为例2、 解线性方程组. 解： , , 所以 , , , 2、齐次方程组 定理： 若, 则齐次方程组只有零解. 推论： 齐次方程组有非零解. 注 齐次方程组有非零解. 例15 已知 有非零解, 求. 解： , 因为此方程组有非零解，故D=0 故或.小结：作业：P28 8、（1）；9；10 本章小结：排列; 逆序; 行列式定义 特殊行列式计算行列式性质与行列式展开 行列式计算 Cramer法则行列式的计算手段：1）按定义； 2）角行列式； 3）对角化 4）展开（降阶） 5）拆行拆列； 6）利用Van.行列式；7）行（列）等（磊加求和法）； 6
