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1、课题：由“理发师悖论”引发的讨论一、问题背景在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。二、问题提出有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？三、问题解答1、 学生思考回答如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。2、教师适时点拨如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义
2、成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。3、师生共同归纳一般地，把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有： ，问，QP 还是 QQ？ 若QP，那么根据第一类集合的定义，必有QQ，但是Q中任何集合都有的性质，因为QQ，所以QQ，引出矛盾。若QQ，根据第一类集合的定义，必有QP，而显然，所以QQ，还是矛盾。四、小链接第一次数学危机罗素悖论提出，
3、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论在本质上存在两种选择，the Zermelo-Fraenkel alternative 和 the von Neum ann-Bernays alternative。第二次数学危机1908年，策梅罗（Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的
4、缺陷。这一公理系统在通过Abraham Fraenkel的改进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axioms。在该公理系统中，由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或Subset Axioms)：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素xB当且仅当xA且P(x)；因此xx是一个集合并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A=xx是一个集合在ZF系统中能被证明是矛盾的。因此罗素悖论在该系统中被避免了。 第三次数学危机除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼
5、（von Neumann)等人提出的NBG系统等。在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被称为类(class)，因此某些集合也能被称为class，但是某些collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此仅仅是个class。这同样也避免了罗素悖论。 公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究
6、。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。五、思考与讨论应用1：一只小虫在绳上爬，从一个端点爬向另一个端点。如图：速度为1cm/s，绳子以3m/s的速度均匀拉长。问：小虫是否能爬到终点？ 分析：假设小虫能爬到右端点N.将绳子右端固定，取其靠近右端点N的三百等分点S（注：S以1cm/s向左端移动），则途中会经过s点。经过s点时，小虫有个向右的速度v=1cm/s，而其所处的位置有个向左的速度u=1cm/s，所以它到右端点的距离始终不变。与反设中“小虫能爬到右端点N”矛盾，所以假设不成立。命题
7、得证，即小虫不能爬到右端点N。小结：运用假设，借助所设条件，使问题简单化。应用2：有位调查员受托去A、B、C三所中学调查学生订阅中学生数学的情况，他很快统计出，A校男生订阅的比例比女生订阅的比例要大些，对B校和C校的调查也得出同样的结果于是他拟写了一个简要报道，称由抽取的三所学校的调查数据看，中学生中男生订阅中学生数学的比例比女生大后来，他又把三所学校的学生合起来作了一遍统计复核，匪夷所思的事情发生了，这时他得出的统计结果令他大吃一惊，原来订阅中学生数学的所有学生中，女生的比例比男生要大些，怎么会是这样呢？这就象在玩一个魔术，少的变多了，多的变少了你能帮他找找原因吗？分析：假设A、B、C三所学
8、校各有100名学生，A有1男99女，B有50男50女，C有99男1女，这样男女总数相同。计算得到A的比例：男：1/1=100%，女：98/99=98.99%；B的比例：男：50/50=100%，女：49/50=98%；C的比例：男：1/99=1.01%，女：0/1=0%。可见三个学校的比例都是男生多，但是总的来看，一共有1+50+1=52男生订阅，98+49+0=147名女生订阅，远远大于男生的比例。应用3：史密斯教授和两个数学学生一起吃午饭。 教授：我来告诉你们一个新游戏,把你们的钱包放在桌子上，我来数里面的钱，钱包里的钱最少的那个人可以赢掉另一个钱包里的所有钱。 学生甲：嗨.,如果我的钱比
9、乙的多,他就会赢掉我的钱，可是如果他的多,我就会赢多于我的钱,所以我赢的要比输的多.因此这个游戏对我有利. 学生乙：如果我的钱比甲的多,他就会赢掉我的钱.可是如果他的钱多,我就会赢,而且我赢得比输得多,所以游戏对我有利. 一个游戏怎么会对双方都有利呢? 到底是谁的想法有问题呢?分析：钱包只有二个，所以钱包里的钱只存在二个数：X,Y，设XY。 甲有1/2机会是X，1/2机会是Y；乙也如是。如果甲的钱是Y，则赢得X；如果甲的钱是X，则输掉X；乙也如是。结论：1/2机会赢，1/2机会输。而甲乙想法的问题出在，他们假设了3个数：设甲有X元，乙有Y元,(YX)。 但实际上只存在2个数，所以这是错误的论证，推理出错误的结论。点评：悖论虽然看似荒诞，但却在数学哲学史上产生过重要影响一些著名的悖论曾使高明的哲学家与数学家为之震惊，为之绞尽脑汁，并引发了人们长期艰难而深人的思考可以说，悖论的研究对促进数学思想的深化发展是立过汗马功劳的本课只是以饶有趣味的“悖论”故事，在让学生大开眼界的同时，运用智慧的力量解决了数学问题，领悟了数学方法。
