非线性优化用

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1、一 、MATLAB 非线性优化应用非线性规划模型非线性规划课题实例1 表面积为 36平方米的最大长方体体积。设 x、y、z 分别为长方体的三个棱长， f 为长方体体积 max f = x y (36-2 x y)/(2 (x+y)实例 2 投资决策问题某公司准备用 5000 万元用于 A、B 两个项目的投资， 设 x1、 x2 分别表示配给项目 A、B 的投资。预计项目 A、B 的年收益分别为 20%和 16%。同时，投资后总的风险损失将随着总投资和单位投资的增加而增加，已知总的风险损失 为2x12+x22+(x1+x2)2问应如何分配资金，才能使期望的收益 最大，同时使风险损失为最小。max

2、 f=20%X+16%x2-入2x12+x22+(x1+x2)2 st x+x2W 5000x 芦0,x2M0目标函数中的入MO是权重系数。由以上实例去掉实际背景，其目标函数与约束条件至少有一处是非线性的，称其为非线性问题。非线性规划问题可分为无约束问题和有约束问题。实例1 为无约束问题，实例 2 为有约束问题。 二无约束非线性规划问题：*有界单变量优化：x,val=fminbnd(f,x1,x2),其中f是用来求极值的函数， 可以是函数名，也可以是函数表达式，意思是求函数f在区 间x1,x2上的极小值。例1求函数f(x)=xA3*eA(-x)的极值为了能更方便的找出极值点，先用 plot 函

3、数画出该函 数的曲线图，输入如下命令：x=-10:0.1:10;f=x.A3 *exp(-x);plot(x,f) 从图中可以看出函数有极大值，由于 fminbnd 是求 极小值，因此必须将函数反号。输入如下命令： f1=-xA3*exp(-x);x,val=fminbnd(f1,-10,10)x=3, val=-1343 因此，函数的极大值点为 x=3 练习 1 求解 f(x)=xA2-2x-1 的极值*求解多元无约束最优化问题的方法主要有两类：直接 搜索法(Search method)和梯度法(Gradient method).1fminunc 函数调用格式： x=fminunc(fun,

4、x0) x=fminunc(fun,x0,options) x=fminunc(fun,x0,options,P1,P2) x,fval=fminunc() x,fval, exitflag=fminunc( ) x,fval, exitflag,output=fminunc( ) x,fval, exitflag,output,grad=fminunc( ) x,fval, exitflag,output,grad,hessian=fminunc( ) 说明：fun为需最小化的目标函数，x0为给定的搜索的 初始点。options指定优化参数。返回的 x 为最优解向量； fval 为 x 处的

5、目标函数值； exitflag 描述函数的输出条件； output 返回优化信息； grad 返回目标函数在x处的梯度。Hessian返回在x处目标函数 的 Hessian 矩阵信息。例 2 ： 求 min f = 8 x 一 4 y + x2 + 3 y2通过绘图确定一个初始点 ： x,y=meshgrid(-10:0.5:10);z= 8*x-4*y +x.A2+3*y.A2;surf(x,y,z)I： x0=(0,0)x0=0,0;编辑 ff1.m 文件function f=ff1(x)f=8*x(1)-4*x(2) +x(1)A2+3*x(2)A2;程序调用:x,fval,exitfl

6、ag=fminunc(ff1,x0)结果： x =-4.0000 fval =-17.3333 exitflag =10.6667练习2minf = 4 x2 + 5 xy + 2 y2结果： x =1.0e-007 *-0.1721 0.1896 fval =2.7239e-016 exitflag =12. minsearch 函数 (略)调用格式： x=fminsearch(fun,x0) x=fminsearch(fun,x0,options) x=fminsearch(fun,x0,options,P1,P2)x,fval=fminsearch()x,fval, exitflag=f

7、minsearch( )x,fval, exitflag,output=fminsearch( )x,fval, exitflag,output,grad=fminsearch( ) x,fval, exitflag,output,grad,hessian=fminsearch( ) 说明：参数及返回变量同上一函数。对求解二次以上的 问题， fminsearch 函数比 fminunc 函数有效。三 有约束非线性规划问题：数学模型： min F(x)s.t G.(x) WOi=1,mGj(x) = 0j=m+1,nl xlWxWx 其中：F(x)为多元实值函数，G(x)为向量值函数， 调用格式

8、 : x=fmincon(f,x0,A,b) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub) x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) x,fval=fmincon()x, fval, exitflag=fmincon( )x, fval, exitflag, output=fmincon( )x, fval, exitflag, output, lambda=fmincon( )

9、说明：x=fmincon(f,x0,A,b)返回值x为最优解向量。其中: xO为初始点。A,b为不等式约束的系数矩阵和右端列向量。x=fmincon(f,x0,A,b,Aeq,beq) 作有等式约束的问题。若没 有不等式约束，则令 A= 、b= 。x=fmincon(f, x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, nonlcon ,options) 中 lb ,ub为变量x的下界和上界；nonlcon=fun,由M文件 fun.m给定非线性不等式约束c (x) WO和等式约束g(x)=O ； options 为指定优化参数进行最小化。例 3：求解：min 100(x2-x12)2+(1-x1

10、)2s.t x1W 2;x2W2程序：首先建立 ff3.m 文件：function f=ff3(x)f=100*(x(2)x(2厂2厂2+(1x(1)厂2;然后在工作空间键入程序：x0=1.1,1.1;A=1 0;0 1;b=2;2;x,fval=fmincon(ff6,x0,A,b)结果： x =1.0000 1.0000fval =3.1936e011例 4：求解：min f (x) = 一 x x x123s .t 0 x + 2 x + 2 x 72123 首先建立目标函数文件 ff4.m 文件function f=ff4(x)f=x(1)*x(2)*x(3) 然后将约束条件改写成如下

11、不等式：-x1-2x2-2x3W 0x1+2x2+2x3W 72在工作空间键入程序：A=1 -2 -2;1 2 2;b=0;72; x0=10;10;10;x,fval=fmincon(ff4,x0,A,b)结果： x =24.000012.000012.0000 fval =-3456例 5 求解：minf=ex1(6x12+3x22+2x1x2+4x2+1)s.tx1x2-x1-x2+1 W 0程序：首先建立目标函数文件 ff5.m 文件：function f=ff5(x)f=exp(x(1)*(6*x(1)八2+3*x(2)八2+2*x(1)*x(2)+4*x(2)+1);再建立非线性的

12、约束条件文件： ff5g.mfunction c,g=ff5g(x)c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1 ； c(2)=-2*x(1)*x(2)-5；g=;x0=1,1; nonlcon=ff5gx, fval =fmincon(ff5,x0, nonlcon) 结果： x =-2.5000 1.0000fval =3.3244exitflag =1当有等式约束时，要放在矩阵 g 的位置，如上例中加等式 约束：x(1)+2*x(1)=0程序：首先建立 ff5g1.m 文件： functionc,g=ff5g1(x) c(1)=x(1)*x(2)-x(1)-x(2)+1 ； c(

13、2)=-2*x(1)*x(2)-5 ；g(1)=x(1)+2*x(2);然后在工作空间键入程序：x0=-1,1;nonlcon=ff851;x, fval,exitflag =fmincon(ff5,x0,nonlcon )结果：x =-2.2361 1.1180fval =3.6576exitflag =1练习 （效用理论）某同学计划用 50 元购买两种商品-软盘 与录音磁带，假定购买 x 张软盘与 y 张磁带的效用函数为 U（x,y）=31nx+lny已知软盘的单价是6元,磁带的单价是4元， 请你为这位同学做一安排，如何购买，才能使购买这两种商 品的效用最大？解：max z=3lnx+lnySt 6x+4y=50结果： x=6.25003.1250思考题（资金最优使用方案）设有400万资金,要求在 4年内使 用完,若在一年内使用资金X 万元，则可获得效益妙5万元（设 效益不再投资）,当年不用的资金存入银行,年利率为 01,试制 定出这笔资金的使用方案,以使4年的经济效益总和最大?（参 见吴礼斌编著数学试验与建模 P134）