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1、第六课时：直线与平面所成的角教学目标：理解直线与平面所成角的概念，并会计算直线与平面的所成角。教学重点：直线与平面所成角的计算。教学难点：直线与平面所成角的计算。教学过程：一、新课讲授：1、主要概念：斜交：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，称这条直线和这个平面斜交。斜线：和平面斜交的直线叫做这个平面的斜线。斜足：斜线与平面的交点叫做斜足。点在平面上的射影：过平面外一点向平面引垂线，垂足叫做这点在平面上的射影。斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影。注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上。如图，直线是平面的一条斜线
2、，斜足为，斜线上一点在平面上的射影为，则直线是斜线在平面上的射影。2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0。结论：直线与平面所成角的范围为。思考题：若直线，对任意一个平面，直线、直线与平面的所成角的大小有什么关系？答：直线、直线与平面的所成角相等。二、应用举例：例1、正方体的棱长为。（1）求直线与平面所成角的大小；（2）若为棱的中点，求与平面所成角的大小；（3）求直线与平面所成角的大小；（
3、4）求直线与平面所成角的大小；（5）求直线与平面所成角的大小；（6）求直线与平面所成角的大小。解：（1）因为，所以是在平面上的射影，所以为直线与平面所成角，又因为，所以，即直线与平面所成角的大小为；（2）过作于，仿（1）可证，所以，所以可得：，所以就是在平面上的射影，为与平面所成角，可求得，所以与平面所成角的大小为；（3）过作于，连结，仿（1）可证，所以，可证得：，所以就是直线在平面上的射影，所以为直线与平面所成角，易求所以直线与平面所成角的大小为；（4）过作于点，所以，所以。设交平面于点，易知为中点，所以为在平面上的射影，为与平面所成角。，所以，即与平面所成角为。（5），所以，与平面所成角为
4、0.（6）因为，所以直线与平面所成角和与平面所成角相等。连交于点，连延长后交的延长线于点，过作于点，易证，则，所以，即为在平面上射影，所以直线与平面所成角为。从例1我们看到，求线面角关键是要找出直线在平面上的射影。例2、在中，为中点，平面，若、与平面所成角分别为、，求与平面所成角的大小。解：因为，所以，设，则，又因为，所以，为中点，所以，在中，又因为，所以在平面上射影为，就是与平面所成角，所以，所以与平面所成角的大小为。练习：如图，已知长方体 的对角线 与侧棱 所成的角为 ，且 ，求 与侧面 所成角的大小。解：因为 ，所以 所以 因为 平面 所以 与侧面 所成角为 ，等于。三、课堂小结：本课学
5、习了求直线与平面所成角的方法，求直线与平面所成角的关键是找到直线在平面上的射影。四、练习巩固：1、判断题：（下列命题中，是真命题的在括号内填入“”；是假命题的在括号内填入“”）（1）一条直线在平面内的射影是一条直线。 （ ）（2）在平面内射影是直线的图形一定是直线。 （ ）（3）如果两条线段在同一平面内的射影长相等，那么这两条线段的长相等。 （ ）（4）如果两条斜线与平面所成的角相等，那么这两条斜线互相平行。 （ ）2、过平面外一点的斜线段的长是过这点的垂线段的长的倍（），求斜线与平面所成的角的大小。解：由题意知：，所以。3、已知，点是平面外一点，点是点在平面上的射影，且点在内。（1）若点到的
6、三个顶点的距离相等，则点一定是的_外_心；（2）若点到的三边所在直线的距离相等，则点一定是的_内_心。4、在长方体中，是的中点，求直线与平面所成角的大小。简解：连接，可证：是在平面内的射影， 所以是直线与平面所成角， 因为，所以， 所以直线与平面所成角的大小为。5、已知是等边三角形所在平面外一点，的边长为，求和平面所成的角的大小。简解：作平面，垂足为， 因为，所以点为的外心，所以， 所以，所以，所以和平面所成的角的大小为。6、是平面的斜线，已知，点到平面的距离为，和平面所成的角为，求和平面所成角的大小。简解：由题意可得：，所以， 可得：和平面所成角的大小为。7、已知长方体中，求：（1）与平面所成角的大小；（）（2）与平面所成角的大小；（）（3）与平面所成角的大小。（）8、直角梯形中，且。求：（1）、和所成角的大小；（2）和平面所成角的大小。简答：和所成角分别为；和平面所成角为。
