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1、第 1 页 共 11 页最优化方法1一、填空题： 1最优化问题的数学模型一般为：_，其中_称为目标函数，_称为约束函数，可行域D可以表示为_，若_，称为问题的局部最优解，若_，称为问题的全局最优解。2设f(x)= ，则其梯度为_，海色矩阵_,令则f(x)在处沿方向d的一阶方向导数为_，几何意义为_,二阶方向导数为_，几何意义为_。3设严格凸二次规划形式为：则其对偶规划为_。4求解无约束最优化问题：，设是不满足最优性条件的第k步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向=_用Newton法求解时，搜索方向=_用共轭梯度法求解时，搜索方向=_。二（10分）简答题：试设计求解无约束优化问题的一般下降算
2、法。三（25分）计算题1 （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：.2 （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求约束问题：的最优解和相应的乘子。四 证明题（共33分）1（10分）设是正定二次函数，证明一维问题的最优步长为2（10分）证明凸规划（其中为严格凸函数，D是凸集）的最优解是唯一的3. （13分）考虑不等式约束问题其中具有连续的偏导数，设是约束问题的可行点，若在处d满足则d是处的可行下降方向。最优化方法2一、填空题： 1最优化问题的数学模型一般为：_，其中_称为目标函数，_称为约束函数，可行域D可以表示为_，若_，称为问题的局部最优解，若_，称为问题
3、的全局最优解。2设f(x)= ，则其梯度为_，海色矩阵_,令则f(x)在处沿方向d的一阶方向导数为_，几何意义为_,二阶方向导数为_，几何意义为_。3设严格凸二次规划形式为：则其对偶规划为_。4求解无约束最优化问题：，设是不满足最优性条件的第k步迭代点，则：用最速下降法求解时，搜索方向=_用Newton法求解时，搜索方向=_用共轭梯度法求解时，搜索方向=_。二（10分）简答题：试叙述求解无约束优化问题的优化方法及其优缺点。（200字左右）三（25分）计算题3 （10分）用一阶必要和充分条件求解如下无约束优化问题的最优解：.4 （15分）用约束问题局部解的一阶必要条件和二阶充分条件求解约束问题：
4、其中四 证明题（共33分）1（10分）设是正定二次函数，证明一维问题的最优步长为2（23分）考虑如下规划问题 其中是凸函数，证明：（1） （7分）上述规划为凸规划；（2） （8分）上述规划的最优解集为凸集；（3） （8分）设有连续的一阶偏导数，若是KT点，则是上述凸规划问题的全局解。最优化方法试题3一、 填空题1.设是凸集上的一阶可微函数，则是S上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）；2.设是凸集上的二阶可微函数，则是上的严格凸函数（ ）（填当或当且仅当）对任意，是（ ）矩阵；3.已知规划问题，则在点处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。二、选择题1.
5、给定问题，则下列各点属于K-T点的是（ ）A) B) C) D) 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ）A) B) C) D) 三、求下列问题 取初始点。四、考虑约束优化问题用两种惩罚函数法求解。五用牛顿法求解二次函数的极小值。初始点。六、证明题1.对无约束凸规划问题，设从点出发，沿方向作最优一维搜索，得到步长和新的点，试证当时，。2.设是非线性规划问题的最优解，试证也是非线性规划问题的最优解，其中。最优化方法试题4一、 是非题1. 若某集合是凸集，则该集合中任意两点的所有正线性组合均属于此集合。2. 设函数，若，并且半正定，则是的局部最优解。3. 设是的局部最优解，则在处的下降方向一定不是可
6、行方向。4. 设是的局部最优解，则是的K-T点。5. 设函数，则用最速下降法求解时，在迭代点处的搜索方向一定是在处的下降方向。6. 用外点法求解约束优化问题时，要求初始点是不可行点。二、在区间上用黄金分割法求函数的极小点，求出初始的两个试点及保留区间。三、验证点 与是否是规划问题的K-T点。对K-T点写出相应的Lagrange乘子。四、用外点法求解五用共轭梯度法求解无约束优化问题取初始点，精度为。六、证明题1.设集合是凸集，是上的凸函数，令证明也是上的凸函数。2.设，记证明：是在处的可行方向的充要条件是。最优化方法试题5二、 填空题1.设Q为n阶对称正定矩阵，为行满秩矩阵，则问题的K-T点为（
7、 ）；2.的平稳点为（ ），该平稳点（ ）（填是或不是）局部最优解；3.设是问题的可行解，则在处有其中，则是的下降方向的充要条件为（ ），是的可行方向的充要条件为（ ）。二 运用0.618法求 在区间上的极小点。要求最终区间长度不大于原区间长度的0.08倍。（计算结果精确到0.001）三、用最速下降法求解无约束问题 ，取初始点。四、证明题1.用牛顿法求函数（A为对称正定矩阵）的极小值只需一次迭代；2.罚函数内点法定义惩罚函数，（其中）。设产生序列，证明：（1）；（2）；（3）.五、求约束问题 的KuhnTucker点。六设连续可微，考虑约束问题，其中。设，是问题的最优解。求:1)什么条件下是问题的K-T点;2)什么条件下为处的可行下降方向.七、某银行有投资资金，投资于A,B两个项目，计划5年为一个周期。A,B两个项目的资金回收率分别为a,b（）。设第年（1，2，,4）底根据现有投资资金对A,B两个项目的投资额做出决策，以投资于A项目，一年中可产生经济效益，余额（）投资于B项目，一年可产生经济效益，其中g,h为两个单调非减函数（显然不投资则效益为0）.问每年底作何投资决策，可使在第5年底的总效益最大？试合理选择问题的特征量，建立特征量之间的定量关系，写出数学模型。
