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1、 2 15.1 孤立奇点 孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态1、正确理解条件收敛与绝对收敛 2、掌握幂级数的收敛圆的概念，会求幂级数的收敛半径，了解幂级数 的运算和性质. 3、正确掌握幂级数和函数的解析性孤立奇点的分类各类奇点的特征讲授法 多媒体与板书相结合习题五：1-5一、孤立奇点的分类二、各类奇点的特征三、函数的零点与极点的关系1复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版社.3复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005.4复变函数与积分变换,苏变萍 陈东
2、立编，高等教育出版社，2008.1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑第五章 留数及其应用 (Residue and application)第一讲授课题目：5.1 孤立奇点教学内容：孤立奇点的分类、各类奇点的特征、函数的零点与极点的关系、函数的零点与极点的关系.函数在无穷远点的性态学时安排：2学时教学目标：1、掌握孤立奇点的分类2、理解并掌握各类奇点的特征 3、了解函数的零点与极点的关系及函数的零点与极点的关系教学重点：孤立奇点的分类教学难点：各类奇点的特征教学方式：多媒体与板书相结合作业布置： 习题五：1-5板书设计：一、孤立奇点的分类 二、各类奇点
3、的特征 三、函数的零点与极点的关系参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会判断函数的孤立奇点，并能正确分类2、基本掌握各类奇点的特征3、课后要答疑教学过程：5.1 孤立奇点(Isolated singular point)一、孤立奇点的分类（Isolated singular points of）设函数在去掉圆心的圆盘内解析，那么我们称为的孤立奇点.在内，有洛朗展
4、式其中是圆.为的解析部分，为的主要部分.例1 0是，的孤立奇点.例2 ，是它的孤立奇点.一般地，对于上述函数，按照它的洛朗展式含负幂的情况（主要部分的情况），可以把孤立奇点分类如下：定义（Definition）5.1(1) 若 在的主要部分为零， 则称 为 的可去奇点. (2) 若 在 点的主要部分为有限多项. 即 ()则称 为 的阶极点.(3) 若 在 点的主要部分有无限多项, 则称 为 的本性奇点.二、各类奇点的特征(The characteristics of various types of singularities)1、可去奇点(Removable singularity) 我们说
5、是的可去奇点，或者说在有可去奇点.这是因为令，就得到在整个圆盘内的解析函数.定理(Theorem)5.1函数在内解析，那么是的可去奇点的必要与充分条件是：存在着极限，其中是一个复数.证明：（必要性）.已知是的可去奇点，在内，有洛朗展式：因为上式右边的幂级数的收敛半径至少是R，所以它的和函数在内解析，于是显然存在着.（充分性）设在内，的洛朗展式是其中已知，所以存在着两个正数及，使得在内，那么取，使得，我们有当时，在上式中令趋近于0，就得到.于是是的可去奇点.定理(Theorem)设为的孤立奇点，则是的可去奇点的充分必要条件是：存在着某一个正数，使得在内有界.2. 极点(Pole)设是的阶极点.当
6、时，称是的单极点，当时，称是的重极点.是的阶极点，那么在内，有洛朗展式：在这里.于是在内其中是一个在内解析的函数，并且.反之，如果函数在内可以表示成为上式右端的形状，而是一个在内解析的函数，并且，那么可以推出是的阶极点.这样我们就得到： 是的阶极点充要条件是： （1） 其中在解析，并且.由此可得如下定理：定理(Theorem)5.2设函数在内解析，那么是的极点的充分必要条件是：.推论设函数在内解析，那么是的阶极点的充分必要条件是： ，在这里是一个正整数，是一个不等于0的复常数.3. 本性奇点 (Essential singularity)定理(Theorem)5.3设函数在内解析，那么是的本性
7、奇点的充分必要条件是：不存在有限或无穷极限.例3 研究是函数孤立奇点的类型解：是函数的孤立奇点.当沿正实轴趋近于0时，趋近于；当沿负实轴趋近于0时，趋近于0；所以不存在，故是函数的本性奇点.例4 研究是函数孤立奇点的类型解：是函数的孤立奇点.因为函数在内的洛朗展式为由于展式中负幂项系数均为0，故故是函数的可去奇点. 例5 求出下列函数的奇点，并确定它们的类型，对无穷远点也要加以讨论： （1） （2） 解（1）（法一）以为奇点 先求在的洛朗展式：由此，在的负幂项部分为零；故为的可去奇点.（法二） 因为故为可去的奇点（2）显然是的二级极点.三、函数的零点与极点的关系(Function relati
8、onship between the zero and pole)定义(Definition)5.2若，其中在解析，且，是一正整数，则称为的阶零点.定理(Theorem)5.4若在解析，则为的阶零点充分必要条件是 证明：（必要性）若为的阶零点，则 设在的泰勒展式为 其中，从而在的泰勒展式为由此式推知 （充分性）课后作业 注1：不恒为零的解析函数的零点是孤立的(Analytic function is not identically zero zero is isolated)零点与极点有如下关系 定理(Theorem)5.5 为的阶极点，则是的阶零点，反之亦然.例6函数有什么奇点？如果是极点，
9、指出它们的阶.解：是函数的孤立奇点，由于，所以都是的一阶零点，也就是一阶极点. 四、函数在无穷远点的性态(Function in the behavior of Infinity)定义(Definition)5.3设函数在无穷远点的邻域内解析，则称无穷远点为的孤立奇点.在内，有洛朗级数展式： （2）其中令，按照或，我们得到在或内解析的函数，在内其洛朗级数展式是：再用代入，得到在内 （3）（3）与（2）对比得 因此，有 （1）在（2）中，如果当时时，那么是的可去奇点. （2）在（2）中，如果只有有限个（至少一个）整数，使得，那么是的极点.设对于正整数，而当时，那么我们称是的阶极点. （3）在（2
10、）中，如果有无限个整数，使得，那么称是的本性奇点. 注2：我们也称分别为级数的解析部分和主要部分. 注3：若为的可去奇点，也说在无穷远点解析. 注4：有限点的结论都可以推广到无穷远点的情形，有 定理(Theorem)5.6设函数在无穷远点的邻域（）内解析，则孤立奇点为的可去奇点、极点、本性奇点的充分必要条件是存在着有限、无穷极限、不存在有限或无穷的极限.例7 求函数在的去心邻域内的洛朗展式，并指出其收级域. 解：因在内解析，故在此领域内展为洛朗级数. 例8 函数是否以为孤立奇点？若是，属于哪一类？ 解：函数在全平面上解析，式子本身就是在无穷远点的邻域内的洛朗展式，所以是函数的孤立奇点且为三阶极
11、点.例9 函数是否以为孤立奇点？解：函数在全平面上除的零点以外为解析，但的零点，它们都是的极点，且在扩充复平面上，序列以为聚点，因此不是函数的孤立奇点. 2 15.2 留数 留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数 3、了解留数的概念留数定理留数的求法讲授法 多媒体与板书相结合思考题：1，2，3.习题五：6-8一、留数定理二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数1复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2复变函数与积分变换学习辅导与习题全解，高等教育出版社.3复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）
12、2005.4复变函数与积分变换,苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008.1、会求留数2、能理解留数的概念3、课后要答疑第二讲授课题目：5.2 留数教学内容：留数的概念及留数定理、留数的求法、函数在无穷远点的的留数.学时安排：2学时教学目标：1、掌握留数定理及留数的求法2、正确理解函数在无穷远点的的留数 3、了解留数的概念教学重点：留数定理教学难点：留数的求法教学方式：多媒体与板书相结合作业布置：思考题：1，2，3.习题五：6-8板书设计：一、留数定理 二、留数的求法 三、函数在无穷远点的的留数参考资料：1、复变函数，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.2、复变函数与积分变换学习辅导与习题
13、全解，高等教育出版.3、复变函数论，（钟玉泉编，高等教育出版社，第二版）2005年5月.4、复变函数与积分变换苏变萍 陈东立编，高等教育出版社，2008年4月.课后记事：1、会求留数2、能理解留数的概念3、课后要答疑教学过程：5.2 留数(Residue)一、 留数的概念及留数定理（The concept of the residue and the residue theorem）设函数在点解析.作圆，使在以它为边界的闭圆盘上解析，那么根据柯西定理，积分设函数在区域内解析.选取，使，并且作圆，那么如果在也解析，则；如果是的孤立奇点，则积分就不一定等于零；关于的计算有定义（Definition）5.4如果是的孤立奇点，函数在区域内解析.则称积分为在孤立奇点的留数，记作，这里积分是沿着按逆时针方向取的.注1:我们定义的留数与圆的半径无关.事实
