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1、1设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为()A4B3C2D5解析：由题意知，在PF1F2中，|OM|PF2|3，|PF2|6，|PF1|2a|PF2|1064.答案：A2已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.y21解析：依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，ea2，b2a2c23，因此其方程是1.答案：C3已知椭圆的方程为2x23y2m(m0)，则此椭圆的离心率为()A. B. C. D.解析：由1c2a2b2.e2，e.答案：B4已知圆M：x2y22mx3
2、0(m0)的半径为2，椭圆C：1的左焦点为F(c，0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为()A. B1 C2 D4解析：圆M的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m21(mb0)的半焦距为c，原点O到经过两点(c,0)，(0，b)的直线的距离为c。(1)求椭圆E的离心率；(2)如图，AB是圆M：(x2)2(y1)2的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程。解析：(1)过点(c, 0)，(0，b)的直线方程为bxcybc0，则原点O到该直线的距离d，由dc，得a2b2，解得离心率。(2)方法一：由(1)知，椭圆E的方程为x24y24b2。依题意，圆
3、心M(2,1)是线段AB的中点，且|AB|。易知，AB与x轴不垂直，设其方程为yk(x2)1，代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2。由x1x24，得4，解得k。从而x1x282b2。于是|AB|x1x2|。由|AB|，得，解得b23。故椭圆E的方程为1。 所以x1x24，x1x282b2。于是|AB|x1x2|。由|AB|，得，解得b23。故椭圆E的方程为1。12图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1。(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；
4、(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e。 (2)方法一：连接QF1，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y0。由|PF1|PQ|PF2|得x00，从而|PF1|222(a2b2)2a2。由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a。从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|。又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e。方法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a。从而由|PF1|
5、PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|。又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a，由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此e。13设F1，F2分别是椭圆E：1(ab0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|3|F1B|.(1)若|AB|4，ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cosAF2B，求椭圆E的离心率解：(1)由|AF1|3|F1B|，|AB|4，得|AF1|3，|F1B|1.因为ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a16，|AF1|AF2|2a8.故|AF2|2a|AF1|835.(2)设|F1B|k，则k0且|AF1|3k，|AB|4k.由椭圆定义可得|AF2|2a3k， |BF2|2ak.在ABF2中，由余弦定理可得|AB|2|AF2|2|BF2|22|AF2|BF2|cosAF2B，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)，化简可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k.于是有|AF2|3k|AF1|，|BF2|5k.因此|BF2|2|F2A|2|AB|2，可得F1AF2A，故AF1F2为等腰直角三角形 从而ca，所以椭圆E的离心率e.
