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1、高等代数练习题一、选择题 1、每个次数1的复系数多项式在复数域上都可以唯一的分解成（ ）A、一次因式的乘积 B、一次与二次因式的乘积 C、只能是二次因式的乘积 D、以上结论均不对2、多项式在有理数域上（ ） A、可约 B、不可约 C、不一定可约 D、不能确定3、齐次线性方程组有非零解的充要条件是（ ）A、系数行列式不为0 B、系数行列式为0 C、系数矩阵可逆 D、系数矩阵不可逆4、若存在u（x），v（x）使u（x）f（x）+v（x）g（x）=1，则（ ）A、f（x）g（x） B、g（x）f（x） C、f（x）g（x）=1 D、以上均错5、下列说法正确的是（ ）A、设A、B是两个n级矩阵，则秩（
2、A+B）秩A+秩BB、设是两向量空间，则dim（）=dimV+dimVC、以上均对 D、以上均错6、模m的完全剩余系有（ ） A、唯一一个 B、无穷多个 C、有有限个 D、不一定有7、设p是素数，a是整数，且(p,a)=1，则（ ）A、 B、 C、 D、以上均错8、多项式f(x)除以x-a所得的余数为（ ）A、f(0) B、f(x-a) C、f(a) D、以上均错9、在xy平面上，顶点的坐标(x,y)满足，且x,y是整数的三角形个数有（ ）A、560 B、32 C、516 D、4410、零多项式的次数是（ ）A、0次 B、1次 C、2次 D、不定义次数二、填空题 1、方程的有理根为_。 2、排
3、列657893的逆序数是_。 5 3 -1 2 0 1 7 2 5 2 3、行列式 0 -2 3 1 0 的值为_ 0 -4 -1 4 0 0 2 3 5 0 4、_时，方程组 有非零解 5、计算=_6、m是大于1的正整数，a、b，若mab，则称a、b关于模m_。7、模m的非负最小完全剩余系为_。8、2003被17除的余数为_。9、若f(x)=ax+ax+ax+ax 的根是x，x，则xxx=_。10、用艾森斯坦判别法判断f(x)=x3x+6x3x+9x6在有理数域上不可约所找到的素数为_。三、计算及综合题1、设求f（x）除以g（x）所得的商式q（x）和余式r（x）。 2、设，。求（f（x），g
4、 （x），并求u（x），v（x）使（f（x），g（x）=u（x）f（x）+ v（x）g（x）3、求行列式 d=的值 4、解方程组 5、求矩阵的秩6、求不定方程25x+13y+7z=4的整数解7、求方程的实数解 n-3, 8、定义域为正整数的函数f(n)满足 f(f(n+7), ( 试求f(90)9、设F(x)是对除x=0及x=1以外的一切实数有定义的实值函数，并且 ，求F(x).10. 确定以下各小题的集合关于给定运算是否封闭。如果是，说明相关运算所具有的性质(指交换律，结合律，幂等律，分配律，吸收律和特异元素(单位元，零元，逆元)（1）A=Z，xy=x+y-2xy，任意x，yA（2）. A=
5、R，xy=|x-y|，任意x，yA（3）. A=P(a，b)，两个运算分别为集合的交和对称差（4）. A为n阶实可逆矩阵的集合，两个运算分别为矩阵加法和乘法。11、用m种颜色涂色正六边形的顶点，如果允许这个六边形在空间任意运动，求不同的涂色方案数。（20分）12、设n为给定自然数，求平面上由直线x2yn与两个坐标轴所围成的执教三角形内(包括边上)的整点个数，其中整点表示横、纵坐标都是整数的点。（20分）四、推导题已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。五、计算题线性谐振子在时处于状态线性谐振子在时处于
6、状态 ，其中，求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值六、问答题，一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个?练习题答案一、选择题（3分5=15分）1、A2、B3、B4、C5、A 6、B 7、A 8、C 9、C 10、D二、填空题（3分5分=15分）1、1 2、5 3、-1080 4、 5、6、同余 7、0，1，2，m-1 8、14 9、 10、3三、计算1、解：-3x+1 3+4-5x+ 6 3x+13 3-9+3x 13- 8x+ 6 13-39x+13 31x- 7 （4分） 所
7、以 q(x)=3x+13, （3分）r(x)=31x-7 （3分）2、解： g(x) f(x)x+9=(x) 3+10+ 2x-3 + 3 -4x-3 x-=(x) 3+15+18x +- x -5-16x-3 - - 3x - 3 -5-25x-30 -x+ (x)=9x+27 (x)=- -x- x-=(x) - -x -x- -x- （5分） 0即f(x)=（x-）g(x)+（- -x-） g(x)=（x+9）（- -x-）+（9x+27） - -x-=（x-）（9x+27） 故（f(x)，g(x)）=x+3 （1分）9x+27=g(x)-( x+9)( - -x-) =g(x)-( x
8、+9)( f(x)-( x-)g(x) =(x-9) f(x)+(1-(x-9)( x-)g(x) =(x-9) f(x)+( - +x) g(x) （2分）于是 u（x）=，v（x）= （2分）3、解： = （3分） =（） （3分） =（） （2分） =（） （2分） 4、解：系数行列式=270 （2分） =81 （1分） =-108 （1分） =-27 （1分） =27 （1分） 所以方程组有唯一解为 =3， （1分）=-4， （1分）=-1， （1分）=1 （1分） 5、解： （2分） （2分） （2分） （2分） 故矩阵的秩为3 （2分）6、解：设，考虑方程组 25x+13y=u 的整数解， (2分) U+7z=4 把看作关于x,y的二元一次不定方程 得与的特解为 （1分） （1分） 则与通解为 x=-u+13 u=-3+7
