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1、投篮问题的数学建模摘要现在全民大爱篮球运动，投球的命中率是一场竞赛胜败的重点所在，可否投入篮筐与投球时运动员所处的地点、投球时的角度和投球时的出手速度有很大关系，该论文主要以罚球为出发点，清除了运动员因运动而造成的各样不利要素，议论其罚球时球心与篮筐中心距离，球心所处高度以及投球速度之间的变化对球入篮的影响。把其简化成物理学上的上抛运动，对其水平上用匀速运动议论起运动规律，在垂直方向以初速度为投球时的速度v，加快度为g做均减速运动议论其运动规律。综合求解出其运动轨迹，利用导数意义，求出所需高度，速度等变量的最值，得出以下结论和规律，在标准的篮球场上，当运动员出手速度和出手角度均跟着出手高度增添
2、而减小，但当出手高度一准时，出手速度越大则球入筐时的入射角度也越大，速度一准时，出手高度越大，出手角度应越大，可是跟着速度的增添，高度对出手角度的影响变小，说明取决出手角度的变化对出手速度更为敏感。在出手高度为1.82.1m之间时，出手速度一般要大于8m/s。入射角度一般需要大于33.1o。剖析出手角度和出手速度的最大误差，得出速度越大，出手角度的同意误差越小，而出手速度的同意误差越大，且对出手角度的要求比对出手速度的要求严格;出手速度一准时，出手高度越大，出手角度的同意误差越小，出手速度的同意误差越大。重点词：投篮，出手高度，出手速度，入射角度问题提出在强烈的篮球竞赛中，提升投篮命中率关于获
3、胜无疑起着决定作用，而出手角度和出手速度是决定投篮可否命中的两个重点要素。这里议论竞赛中最简单、但关于输赢也经常是很重要的一种投篮方式罚球。我们成立数学模型研究以下数学识题：1) 先不考虑篮球和篮框的大小，把它们的中心当作质点，不过简单的议论球心命中框心的条件。对不一样的出手高度h和出手速度v，确立所对应的不一样的出手角度时所对应的不一样篮框的入射角度；2) 考虑篮球和篮框的大小，议论球心命中框心且球入框的条件。检查上边获得的出手角度和篮框的入射角度能否切合这个条件；3) 为了使球入框，球心不必定要命中框心，能够偏前或偏后(这里暂不考虑偏左或偏右)，只需球能入框就成，议论保证球入框的条件下，出
4、手角度同意的最大误差，和出手速度同意的最大误差；4) 考虑在空气阻力的影响条件下，议论球心命中框心的条件；1 问题的剖析与模型的成立1.1模型假定、假定球出手后不考虑自己的旋转；、不考虑篮球碰篮板；、不考虑空气阻力对篮球的影响时；符号假定d篮球直径D篮框直径L罚球点和篮框中心的水平距离H篮框中心的高度h篮球运动员的出手高度v篮球运动员投篮出手速度依据标准尺寸，L=4.6m，H=3.05m，d=24.6cm，D=45cm1.2、问题的剖析与模型的成立问题1)的剖析与模型的成立不考虑篮球和篮框的大小的简单状况，相当于将球视为质点（球心）的斜抛运动。将坐标原点定在球心P，列出x(水平)方向和y（竖直
5、）方向的运动方程，就能够获得球心的运动轨迹，于是球心命中框心的条件能够表示为出手角度与出手速度、出手高度之间的关系，以及篮框的入射角度与出手角度，由此可对不一样的出手速度、出手高度，计算出手角度和入射角度。图1.1投篮模型因为不考虑篮球和篮筐的大小，不考虑空气阻力的影响，从未出手时的球心p为坐标原点，x轴为水平方向，y轴为竖直方向，篮球在t=0时以出手速度v和出手角度投出，可视为质点(球心)的斜抛运动，其运动方程是我们熟知的x(t)vtcosy(t)vtsingt2(1.1)2此中g是重力加快度，由此可获得球心运动轨迹为以下抛物线：yxtanx2g(1.2)2v2cos2以x=L，y=H-h代
6、入上式，就获得球心命中框心的条件tanv2112gHhgL2(1.3)gLv22v2能够看出，给定出手速度v和出手高度h，有两个出手角度知足这个条件。而上式有解的前提为2gHhgL20(1.4)122v2v可对v求解得v2gHhL2(Hh)2(1.5)于是关于必定的高度h，使上式等号成立的为最小出手速度v它是h的减函数。由(1.3)式计算出两个出手速度角度记作1、2且设12，能够看出1是h和v的减函数球入篮筐时的入射角度可从下式获得dy(1.6)tandxxL这里的导数由(1.2)式计算代入后可得tan2(Hh)(1.7)tanL于是对应于1、2，有1、1，设12问题2)的剖析与模型的成立：考
7、虑篮球和篮框的大小时，篮球的直径d，篮框的直径D。明显，即便球心命中球框，若入射角太小，球会遇到框的近侧A，不可以入框。以下图：图1.2球入篮时的模型由图不难得出知足的球心应命中框心且球入框的条件。sind(1.8)D将d=24.6cm，D=45.0cm代入得33.1o，前面计算结果中不知足这个条件的，自然应当去掉。问题3)的剖析与模型的成立：球入框时，球心能够偏离框心，偏前的最大距离为x，x能够从入射角算出.依据和球心轨迹中x与的关系，能够获得出手角度同意的最大误差x，出手速度v同意的最大误差v能够近似的办理。球入筐时球心能够偏前(偏后与偏前同样)的最大距离为xDd(1.9)22sin为了获
8、得出手角度同意的最大误差，能够在(1.3)式中以L+x取代L从头计算，可是因为x中包括，进而也包括，因此这类方法不可以分析的求出。假如从(1.2)式出发并将y=H-h代入，可得x2gxtanHh0(1.10)222vcos对求导并令x=L，就有dxLv2gLtan(1.11)dgL2sincosv用x近似取代左侧的导数，即可获得出手角度的误差与x的以下关系gL-v2sincos(1.12)=xL(v2-gLtan)由和已经获得的也简单计算相对误差近似的，(1.10)式对v求导并令x=L，可获得出手速度同意的最大误差xvgLv2sincos(1.13)vxgL2由(1.12)、(1.13)式的相
9、对误差为vv2(1.14)vtangL2 模型的求解及结果剖析2.1对不一样出手高度的最小出手速度和对应的出手角度使(1.5)式等号成立的v为最小出手速度vmin，在这个速度下由(1.3)式可得相应的出手角度0为v2(2.1)tan0gL拿出手高度h=1.82.1(m)，利用公式v2gHhL2(Hh)2求出vmin，再依据tan0v2，求出，用MATLAB求解，代码以下：gLfunctionv=fun(h);H=3.05;g=9.8;L=4.6;v=sqrt(g*H-h+sqrt(L2+(H-h)2);fun(1.8)ans=7.6789fun(1.9)ans=7.5985fun(2.0)an
10、s=7.5186fun(2.1)ans=7.4392结果以下列图所示。表2.1对不一样出手高度的最小出手速度和对应的出手角度h(m)vmin(m/s)(度)1.87.678952.60121.97.598552.01812.07.518651.42902.17.439250.8344由此得出，对应与最小出手速度是最小出手角度，他们均跟着出手高度的增添而略有减小;出手速度一般不要小于8米/秒.2.2对不一样的出手速度和出手高度的出手角度和入射角度对出手速度v=8.09.0(m/s)和出手高度1.82.1(m)，由公式v22gHhgL2求解1、tan11，用MATLAB2gLv22v2functionf=fun1(v);L=4.6;H=3.05;g=9.8;h=1.8;t=v2/(g*L)*(1+sqrt(1-2*g/v2*(H-h+g*L2/(2*v2);f=atan(t)/pi*180;fun1(8.0)ans=62.4099用此求出全部的1，同理可求出2functionf=fun1(v);L=4.6;H=3.05;
