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1、二次函数的图象和性质函数表达式的确定教学目标【知识与技能】使学生理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系;会确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.【过程与方法】让学生经历函数y=a(x-h)2+k性质的探索过程,理解并掌握函数y=a(x-h)2+k的性质,培养学生观察、分析、猜测、归纳并解决问题的能力.【情感、态度与价值观】渗透数形结合的数学思想,培养学生良好的学习习惯.重点难点【重点】确定函数y=a(x-h)2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=
2、a(x-h)2+k的性质.【难点】正确理解函数y=a(x-h)2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x-h)2+k的性质.教学过程一、问题引入1.函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象有什么关系?(函数y=x2+1的图象可以看成是将函数y=x2的图象向上平移一个单位得到的.)2.函数y=-(x+1)2的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?(函数y=-(x+1)2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位得到的.)3.函数y=-(x+1)2-1的图象与函数y=-x2的图象有什么关系?函数y=-(x+1)2-1有哪些性质?(函数y=-(x+1)2-1的图象可
3、以看作是将函数y=-x2的图象向左平移一个单位,再向下平移一个单位得到的,开口向下,对称轴为直线x=-1,顶点坐标是(-1,-1).)二、新课教授问题1:你能画出函数y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象吗?师生活动:教师引导学生作图,巡视,指导.学生在直角坐标系中画出图形.教师对学生的作图情况作出评价,指正其错误,出示正确图形.解:(1)列表:xy=-x2y=-(x+1)2y=-(x+1)2-1-3-2-3-2-2-1-0-100-1-2-32-2-3-8-9(2)描点:用表格中各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;(3)连线:用光滑曲线顺次连接各点,得到函数
4、y=-x2,y=-(x+1)2,y=-(x+1)2-1的图象.问题2:观察图象,回答下列问题.函数开口方向对称轴顶点坐标y=-x2向下x=0(0,0)y=-(x+1)2向下x=-1(-1,0)y=-(x+1)2-1向下x=-1(-1,-1)问题3:从上表中,你能分别找到函数y=-(x+1)2-1,y=-(x+1)2与函数y=-x2的图象之间的关系吗?师生活动:教师引导学生认真观察上述图象.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.函数y=-(x+1)2-1的图象可以看成是将函数y=-(x+1)2的图象向下平移1个单位得到的.函数y=-(x+1)2
5、的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向左平移1个单位得到的.故抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2沿x轴向左平移1个单位长度得到抛物线y=-(x+1)2,再将抛物线y=-(x+1)2向下平移1个单位得到的.除了上述平移方法外,你还有其他的平移方法吗?师生活动:教师引导学生积极思考,并适当提示.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.抛物线y=-(x+1)2-1是由抛物线y=-x2向下平移1个单位长度得到抛物线y=-x2-1,再将抛物线y=-x2-1向左平移1个单位得到的.问题4:你能发现函数y=-(x+1)2-1有哪些性质吗?师生
6、活动:教师组织学生讨论,互相交流.学生分组讨论,互相交流,让各组代表发言,达成共识.教师对学生回答错误的地方进行纠正,补充.当x-1时,函数值y随x的增大而减小;当x=-1时,函数取得最大值,最大值y=-1.三、典型例题【例】要修建一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高,高度为3 m,水柱落地处离池中心3 m,水管应多长?师生活动:教师组织学生讨论、交流,如何将文字语言转化为数学语言.学生积极思考、解答.指名板演,教师讲评.解:如图(2)建立的直角坐标系中,点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,因此可设这
7、段抛物线对应的函数关系式是y=a(x-1)2+3(0x3).由这段抛物线经过点(3,0)可得0=a(3-1)2+3,解得a=-,因此y=-(x-1)2+3(0x3),当x=0时,y=2.25,也就是说,水管的长应为2.25 m.四、巩固练习1.画出函数y=2(x-1)2-2的图象,并将它与函数y=2(x-1)2的图象作比较.【答案】函数y=2(x-1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移一个单位得到的,再将y=2(x-1)2的图象向下平移两个单位长度即得函数y=2(x-1)2-2的图象.2.说出函数y=-(x-1)2+2的图象与函数y=-x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象
8、的开口方向、对称轴和顶点坐标.【答案】函数y=-(x-1)2+2的图象可以看成是将函数y=-x2的图象向右平移一个单位,再向上平移两个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2).五、课堂小结本节知识点如下:一般地,抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同,位置不同,把抛物线y=ax2向上(或下)向左(或右)平移,可以得到抛物线y=a(x-h)2+k.平移的方向和距离要根据h、k的值来确定.抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点:(1)当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;(2)对称轴是x=h;(3)顶点坐标是(h,k).教学反思本节内容主要研究二次函数y=a(
9、x-h)2+k的图象及其性质.在前两节课的基础上我们清楚地认识到y=a(x-h)2+k与y=ax2有密切的联系,我们只需对y=ax2的图象做适当的平移就可以得到y=a(x-h)2+k的图象.由y=ax2得到y=a(x-h)2+k有两种平移方法:方法一:y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k方法二:y=ax2y=ax2+ky=a(x-h)2+k在课堂上演示平移的过程,让学生切身体会到两种平移方法的区别和联系,这里利用几何画板软件效果会更好.教学目标【知识与技能】使学生掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象的方法.【过程与方法】使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对
10、称轴和顶点坐标的方法;让学生经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程,理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质.【情感、态度与价值观】鼓励学生思维多样性,发展学生的创新意识.重点难点【重点】用描点法画出二次函数y=ax2+bx+c的图象和通过配方法确定抛物线的对称轴、顶点坐标.【难点】理解并掌握二次函数y=ax2+bx+c(a0)的性质以及它的对称轴、顶点坐标.教学过程一、问题引入1.你能说出函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(函数y=-4(x-2)2+1的图象的开口向下,对称轴为直线x=2,顶点坐标是(2,1).
11、)2.函数y=-4(x-2)2+1的图象与函数y=-4x2的图象有什么关系?(函数y=-4(x-2)2+1的图象可以看成是将函数y=-4x2的图象向右平移2个单位,再向上平移1个单位得到的.)3.函数y=-4(x-2)2+1具有哪些性质?(当x2时,函数值y随x的增大而减小;当x=2时,函数取得最大值,最大值y=1.)二、新课教授问题1.思考:我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点坐标为(h,k),二次函数y=x2-6x+21也能化成这样的形式吗?师生活动:教师引导学生回忆二次函数y=a(x-h)2+k的相关性质及配方知识.学生积极回忆二次函数y=a(x-h)2
12、+k的相关性质及配方知识.学生积极展示探究结果,教师评价.配方可得:y=x2-6x+21=(x-6)2+3由此可知,抛物线y=x2-6x+21的顶点坐标是(6,3),对称轴是x=6.问题2.你能画出二次函数y=x2-6x+21的图象吗?分析:由以上问题的解决,我们已经知道函数y=x2-6x+21=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点作图的方法作出函数y=x2-6x+21的图象,通过观察图象进而得到这个函数的性质.师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-6x+21的图象.学生回忆画图的步骤,动手画图,相互比较.教师对学生的作品进行评
13、价,对于画得好的学生要加以鼓励,激发学生的学习热情.解:(1)列表:在x的取值范围内列出函数对应值表:x3456789y535(2)描点:用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点;(3)连线:用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2-6x+21的图象.与同学分享作图过程.说明:(1)列表时,应根据对称轴是x=6,以6为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的;(2)直角坐标系中,x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.要根据具体问题选取适当的长度单位,使画出的图象美观.问题3.观察函数y=x2-6x+21的图象,它具有哪些性
14、质?师生活动:教师引导学生观察二次函数y=x2-6x+21的图象.学生分组讨论,各组选派代表发言,全班交流,达成共识.对函数y=x2-6x+21来说:当x6时,函数值y随x的增大而增大;当x=6时,函数取得最小值,最小值y=3.问题4.以上介绍的都是给出一个具体的二次函数来研究它的图象与性质.那么,对于任意一个二次函数y=ax2+bz+c(a0),如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标呢?你能把结果写出来吗?师生活动:教师留给学生足够的思考、探究时间.学生联系上述处理问题的办法,试着对y=ax2+bx+c进行配方.师生共同完成配方过程,分享成功.y=ax2+bx+c=a(x2+x)+c=ax2+x+()2-()2+c=ax2+x+()2+c-=a(x+)2+当a0时,开口向上;当a0时,开口向下.对称轴是x=-,顶点坐标是(-,).三、巩固练习1.通过配方写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y=3x2+2x;(2)y=-x2-2x;(3)y=-2x2+8x-8(4)y=x2-4x+3.【答案】略2.二次函数y=2x2+bx+c的顶点坐标是(1,-2),则b=,c=.【答案】-403.已知二
