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1、安徽必考点专题：几何探究问题(选做)1(2019蚌埠怀远县联考)如图，在菱形ABCD中，AB2，DAB60，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，连接ME并延长，交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)当四边形AMDN是矩形时，求AM的值；当四边形AMDN是菱形时，求AM的值2(2019马鞍山当涂县期末)已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC.(1)如图，若点P在线段AB的延长线上，求证：EAEC；(2)如图，若点P在线段AB上，连接AC，当P为AB的中点时，判
2、断ACE的形状，并说明理由3(2019黄山市期末)在一次数学活动课上，老师要求同学们在一张长AD为8cm、宽AB为6cm的矩形纸片内折出一个菱形，小明同学按照取两组对边中点的方法折出菱形(如图)，小亮同学按照沿矩形的对角线AC折出MACCAD，NCAACB的方法得到菱形(如图)(1)试说明上面图的方法折出的四边形是菱形的理由；(2)计算两位同学的折法中所得到的菱形的面积，比较哪种折法面积较大4(2019安庆潜山县期末)同学们，我们把对角线互相垂直的四边形叫作垂美四边形(如图)下面就让小聪同学带领你们来探索垂美四边形的奥秘吧！请看下面题目：(1)【概念理解】如图，在四边形ABCD中，ABAD，C
3、BCD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？_(只需填写“是”或“不是”)(2)【性质探索】试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系.猜想结论：_(要求用文字语言叙述)，写出证明过程(利用图，写出已知、求证、证明)(3)【性质应用】如图，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC4cm，AB5cm，则GE_cm(直接写出结果，不需要写出求解过程)5(芜湖无为县期末)我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中还有更多的结论【发现与证明】如图，在ABCD中，AB
4、BC，将ABC沿AC翻折至ABC，连接BD.结论1：ABC与ABCD重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：BDAC；证明以上两个结论【应用与探究】在ABCD中，已知BC2，B45，将ABC沿AC翻折至ABC，连接BD.若以A，C，D，B为顶点的四边形是正方形，求AC的长(要求画出图形)参考答案与解析1(1)证明：四边形ABCD是菱形，ABDC，DNEAME.点E是AD边的中点，DEAE.又DENAEM，DENAEM，NEME，四边形AMDN是平行四边形(2)解：四边形ABCD是菱形，AB2，ADAB2.点E是AD边的中点，AEDE1.四边形AMDN是矩形，ADMN，MENE，AEME.又DAB6
5、0，AME为等边三角形，AMAE1.四边形ABCD是菱形，AB2，ADAB2.四边形AMDN是菱形，AMDM.又DAB60，AMD是等边三角形，AMAD2.2(1)证明：四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，ABBC，BPBFPEEF，PF90，APCF.在APE和CFE中，APECFE，EAEC.(2)解：ACE是直角三角形理由如下：P为AB的中点，PAPB.四边形BPEF是正方形，PBPE，BPE90，PAPE，APE90，PAE45.四边形ABCD是正方形，BAC45，CAE90，ACE是直角三角形3解：(1)连接AC，BD.四边形ABCD是矩形，ACBD.E，F，G，H分别是AB，B
6、C，CD，DA的中点，EFAC，FGBD，GHAC，HEBD，EFFGGHHE，四边形EFGH是菱形(2)图中，四边形ABCD是矩形，AD8cm，AB6cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，AEBECGDGAB3cm，AHDHBFCFAD4cm.S菱形EFGHS矩形ABCDSAEHSBEFSCGFSDGH8644324(cm2)图中，设BMxcm，则CM(8x)cm.在RtABM中，AM(cm)四边形AMCN是菱形，AMCM，AM2CM2，即62x2(8x)2，解得x，则CM8(cm)，S菱形AMCNCMAB6(cm2)24，图的折法所得到的菱形的面积较大4解：(1)是(2)
7、垂美四边形的两组对边的平方和相等证明如下：已知：如图，在四边形ABCD中，ACBD，垂足为E.求证：AD2BC2AB2CD2.证明：ACBD，AEDAEBBECCED90，由勾股定理得AD2BC2AE2DE2BE2CE2，AB2CD2AE2BE2CE2DE2，AD2BC2AB2CD2.(3)解析：如图，连接CG，BE.设CE与AB，BG的交点分别为M，N.四边形ACFG和ABDE是正方形，AGAC，ABAE，CAGBAE90，CAGBACBAEBAC，即GABCAE.在GAB和CAE中，GABCAE(SAS)，ABGAEC.又AECAME90，AMEBMN，ABGBMN90，BNM90，即CE
8、BG，四边形CGEB是垂美四边形由(2)可得CG2BE2BC2GE2.AC4cm，AB5cm，BC2AB2AC29，CG22AC232，BE22AB250，GE2CG2BE2BC273，GEcm.5【发现与证明】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，EACACB.由折叠可知ACBACB，BCBCAD，EACACB，AECE，即ACE是等腰三角形ADAEBCCE，即DEBE，CBDBDA.AECBED，ACBCBD，BDAC.【应用与探究】解：分两种情况：(1)如图，四边形ACDB是正方形，CAB90，BAC90.B45，ABAC.由勾股定理得AB2AC2BC2，即2AC2BC2，ACBC；(2)如图，ACBC2.综上所述，AC的长为或2.第 页
