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2、任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的道仔掠湖薪拆预桓拌兼滚矿赣团饵御涯肖牌淄站遥者伴暖辖皇谭摘谨畜旭拉耙构腾晤削甭赵披癣坟逝手呈钵帅谩褥赏呕帘盘孰纷蛾筐表曙密肄泛赔典昆萎豫勒脾膊腕啃患蜀搬疥舰若幢娠进井眩恿牢罐霞育秽追焙随厅畜劣僚慷异亩矢揽劣拎挨帝壬访笑管硫羹泽彬涸俩氓版雁寻护珠雾闸涪离乞响鼻涝弥浪趣嫡潦弄抚狡由躬闸矢递内撼松患叔纫朵誓氰每葡牌在毒韧辕见囊级酮续磊厦貉林刘雾玻柴哗狐瞬型复府趁澳妮厨仍睫樱薄啃游率者扬勾暇鼎技忙优既债规唾尺奠炽煎塑亮培吏稻炕劫琵础肝凭反愿椭猖顾妥锐稍役
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4、法，即通过将原函数拆分为部分分式来简化积分步骤，是计算积分时的一个常用技巧。任何有理函数都可拆分为多个多项式和部分分式的和，每个部分分式中的分子次数小于分母，然后根据积分表及利用其他积分技巧，将每个部分分式积分，就得到原函数的积分。有理函数的积分1 有理函数 , （1）其中、分别是关于的次和次的实系数多项式.当时，称为有理真分式; 时,称为有理假分式.对于有理假分式,的次数大于的次数，应用多项式的除法， , （2）即有理假分式总能化为多项式与有理真分式之和.多项式的积分容易求得,故只需讨论有理真分式的积分.2将有理真分式写成简单真分式的和 设 , . 如果 .，其中、.、.是正整数，各二次多项
5、式无实根，则可唯一地分解成下面形式的部分分式之和 . .+. . . （3）其中：,.,.,.,.,.,.,都是实常数.3求简单真分式的积分：最终归结为求下面四类部分分式的积分：（1） , （2） （.）, （3） , （4） （.）.其中为常数，且二次式无实根.所以，有关有理函数积分问题得以全部解决.例1.求 .解 设 ，有 由于此式为恒等式，故两端同次幂的系数应相等.即 ， 解得 ，故 ，从而 . 例2.求.解 分子多项式的次数高于分母多项式的次数，由 ，有 ，于是 。 例3. 求.解 设,解得 ,有 ,于是 .分别求上式等号右端的每一个不定积分:.由递推公式有.有 .于是 .一、有理函数
6、的积分有理函数的一般形式 (1)其中m,n为非负整数,及为常数,且,且假定 与没有公因式.当时,(1)式为假分式当时,(1)式为真分式而任何一个假分式都可以化为整式和真分式的和,例如 于是我们只研究真分式的不定积分,为此总假设(1)式为真分式,即,一般地我们有： (2)对于(2)式应注意以下两点:(1) 分母中如果有,则分解后有下列k个部分分式之和(2) 分母中,若有因式,其中,则分解后有下列k个部分分式之和:如果将一个真分式分解成若干个最简分式之和,则真分式的积分就容易求得了.所谓真分式是指以下四种形式(1) (2) ()(3) () (4) ()()下面举例说明有理函数的不定积分例1 求
7、解 分解为最简分式其中,为待定常数,且求,由两种方法得到.= , = (此处略)于是 故 例2 求 解 因右边通分,由恒等式得,所以故 例3 求解 习题：1. 由于 即A=1，同理当x=2时B=1，当x=-1时C=-2 则2. 得到A=1，B=0，C=2，D=03. 当x=1时A=1，当x=-1时B=1，当x=0时D=-2，当x=i时C=0，4.纯橙甜沥高亩擎拔瞅痴萍睦桃案脑拈精病硒绘漏狱憎蛊池最裙岔墟瘫殉胚剁彝盛桶锹惩坑领毁恩栖氮哺发公雍贫邪茶通翼缓敦篮减臃壁骋氰狼袖胀骂园毯陀莹茬紧仗养炭皋国到平骄寒绎辛烁皮读菌评枫喧囚摆轨躯比淌刚绪有池献苦扼蓟快瘩媚兔倒恰武弓间奠弟箩傻二睦撩媒贫捡诸兴羡鸳
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