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1、基础巩固强化一、选择题1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k值是()A1B. C. D.答案D解析kabk(1,1,0)(1,0,2)(k1，k,2)，2ab2(1,1,0)(1,0,2)(3,2，2)，两向量垂直，3(k1)2k220，k.2对空间任意一点O，若，则A、B、C、P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D与O点的位置有关答案B解析1，P、A、B、C共面3若向量a(1，2)，b(2，1,2)，且a与b的夹角余弦值为，则等于()A2 B2C2或 D2或答案C解析cosa，b.解得2或.4(2013山东济宁)正方体ABCDA1B1C1D1
2、的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a答案A解析设a，b，c，()(abc)，N为BB1的中点，ac，(ac)(abc)abc，|2(abc)2a2a2a2a2，|a.5已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a、b、c三向量共面，则实数等于()A. B. C. D.答案D解析a、b、c三向量共面，a，b不共线，存在实数m、n使cmanb，即(7,5，)(2mn，m4n,3m2n)，.6如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()Aabc B.abcCa
3、bc D.abc答案A解析()()cab，故选A.二、填空题7.(2013琼海一模)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1B，AB的中点，点N在正方形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件_时，就有MNA1C1；当N只需满足条件_时，就有MN平面B1D1C.答案点N在EG上点N在EH上解析(1)EMBDB1D1，A1C1B1D1，EMA1C1，EGAA1，A1C1AA1，GEA1C1.A1C1平面GEM.故当N在EG上时，MNA1C1；(2)EHA1DB1C，EMB1D1，EHEME，平面HEM平面B1D1C，当N在EH上时，M
4、N平面B1D1C.自己用向量法验证结论成立8ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，则AC边上的高BD等于_答案5解析设，D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)(0,4，3)，x1，y41，z23.(4,45，3)，又(0,4，3)，4(45)3(3)0，|5.9.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且PMMC21，N为PD的中点若xyz，则x_，y_，z_.答案解析()()()()，x，y，z.三、解答题10四棱锥PABCD中，AB、AD、AP两两垂直，AB1，AD2，AP3，F为PC的中点，E为PD上
5、，且PD3PE，用(1)、表示；(2)求的模解析(1)()().(2)由条件知，|1，|2，|3，|2()2|2|2|2，|.能力拓展提升一、选择题11.(2013晋中调研)如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为()A0 B.C. D.答案A解析设OAa，OBOCb，则()|cos|cosabab0，cos，0.12(2013舟山月考)平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、两两的夹角均为60，且|1，|2，|3，则|等于()A5 B6 C4 D8答案A解析设a，b，c，则abc，2a2b2c22ac2bc2ca122232213cos60223cos
6、60212cos6025，因此|5.13底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若a，b，c，则向量等于()AabcB.abcC.abcDabc答案C解析()abc.二、填空题14(2013河北五校联盟调研)在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BD1与平面A1B1CD所成角的正切值为_答案解析连接B1C交BC1于O，则B1CBC1.又A1B1BC1，所以BC1平面A1B1CD.设矩形BDD1B1两对角线BD1与B1D交点为M，则M为BD1的中点，即直线BD1与平面A1B1CD的交点，BMO就是直线
7、BD1与平面A1B1CD所成的角不妨设正方体的棱长为1，则BD1，BM，BO，OM，在RtBMO中，tanBMO.15直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA1，M是CC1的中点，则异面直线AB1与A1M所成角为_答案 解析由条件知AC、BC、CC1两两垂直，以C为原点，CB，CA，CC1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，A(0，0)，B1(1,0，)，M(0,0，)，A1(0，)，(1，)，(0，)，cos，0，即直线AB1与A1M所成角为.三、解答题16如图，在棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别是棱AB、BC上的动点
8、，且AEBFx，其中0xa，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.(1)写出点E、F的坐标；(2)求证：A1FC1E；(3)若A1、E、F、C1四点共面，求证：.解析(1)解：E(a，x,0)，F(ax，a,0)(2)证明：A1(a,0，a)、C1(0，a，a)，(x，a，a)，(a，xa，a)，axa(xa)a20，A1FC1E.(3)证明：A1、E、F、C1四点共面，、共面选与为一组基向量，则存在唯一实数对(1，2)，使12，即(x，a，a)1(a，a,0)2(0，x，a)(a1，a1x2，a2)，解得1，21.于是.考纲要求1了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的
9、正交分解及其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直补充说明1与平面向量对比学习空间向量是平面向量的拓展，空间向量的概念、性质、运算及运算律与平面向量大多相同或相似，故在学习空间向量时，应注意与平面向量的类比以提高效率2平行、共线、共面问题利用向量共线可以解决两直线平行的问题，也可以解决三点共线的问题，解题时表述一定要完整准确；利用空间向量基本定理判断四点共面的问题，用xyz时，关键证明xyz1.3直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则为直线l的方向向量，
10、与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量(2)平面的法向量：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量可通过解方程组求出备选习题1已知空间中三点A(1,0,0)，B(2,1，1)，C(0，1,2)，则点C到直线AB的距离为_答案解析(1,1，1)，(1，1,2)，cos，sin，点C到直线AB的距离d|sin，.2.如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90，PD平面ABCD，AD1，AB，BC4.(1)求证：BDPC；(2)设点E在棱PC上，若DE平面PAB，求的值解析(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DFAB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(1，0)，D(0,0,0)，C(3，0)(1)设PDa，则P(0,0，a)，(1，0)，(3，a)，330，BDPC.(2)由题意知，(0，0)，(0,0，a)，(1,0，a)，(3，a)，(3，a)，(0,0，a)(3，a)(3，aa)设n(x，y，z)为平面PAB的法向量，则即令z1，得xa，n(a,0,1)，DE平面PAB，n0，3aaa0，即a(14)0，a0，.
