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1、2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上)(1)曲线上与直线垂直的切线方程为_ .(2)已知,且,则=_ .(3)设为正向圆周在第一象限中的部分,则曲线积分的值为_.(4)欧拉方程的通解为_ .(5)设矩阵,矩阵满足,其中为的伴随矩阵,是单位矩阵,则=_ .(6)设随机变量服从参数为的指数分布,则= _ .二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(7)把时的无穷小量,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是(A)
2、(B)(C) (D)(8)设函数连续,且则存在,使得(A)在(0,内单调增加 (B)在内单调减少(C)对任意的有 (D)对任意的有 (9)设为正项级数,下列结论中正确的是(A)若=0,则级数收敛(B)若存在非零常数,使得,则级数发散(C)若级数收敛,则 (D)若级数发散, 则存在非零常数,使得(10)设为连续函数,则等于(A)(B)(C) (D) 0(11)设是3阶方阵,将的第1列与第2列交换得,再把的第2列加到第3列得,则满足的可逆矩阵为(A) (B) (C) (D)(12)设为满足的任意两个非零矩阵,则必有(A)的列向量组线性相关的行向量组线性相关(B)的列向量组线性相关的列向量组线性相关
3、 (C)的行向量组线性相关的行向量组线性相关(D)的行向量组线性相关的列向量组线性相关(13)设随机变量服从正态分布对给定的,数满足,若,则等于(A) (B)(C) (D) (14)设随机变量独立同分布,且其方差为 令,则(A) (B) (C) (D)三、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分12分)设,证明.(16)(本题满分11分)某种飞机在机场降落时,为了减少滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h 经测试,减速伞打开后,飞机所受的总
4、阻力与飞机的速度成正比(比例系数为 问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小时)(17)(本题满分12分)计算曲面积分其中是曲面的上侧.(18)(本题满分11分)设有方程,其中为正整数.证明此方程存在惟一正实根,并证明当时,级数收敛.(19)(本题满分12分)设是由确定的函数,求的极值点和极值.(20)(本题满分9分)设有齐次线性方程组试问取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解.(21)(本题满分9分)设矩阵的特征方程有一个二重根,求的值,并讨论是否可相似对角化.(22)(本题满分9分)设为随机事件,且,令 求:(1)二维随机变量的概率分布. (2)
5、和的相关系数(23)(本题满分9分)设总体的分布函数为其中未知参数为来自总体的简单随机样本,求:(1)的矩估计量.(2)的最大似然估计量.2004年考研数学试题答案与解析（数学一）一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx上与直线垂直的切线方程为.【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx的导数为1可确定切点的坐标.【详解】 由，得x=1, 可见切点为，于是所求的切线方程为 ， 即 .【评注】 本题也可先设切点为，曲线y=lnx过此切点的导数为，得，由此可知所求切线方程为， 即 .本题比较简单，类似例题在一般教科书上
6、均可找到.（2）已知，且f(1)=0, 则f(x)= .【分析】 先求出的表达式，再积分即可.【详解】 令，则，于是有 ， 即 积分得 . 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= .【评注】 本题属基础题型，已知导函数求原函数一般用不定积分.（3）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分的值为 .【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分.【详解】 正向圆周在第一象限中的部分，可表示为 于是 =【评注】 本题也可添加直线段，使之成为封闭曲线，然后用格林公式计算，而在添加的线段上用参数法化为定积分计算即可.（4）欧拉方程的通解为 .【分析】 欧拉方
7、程的求解有固定方法，作变量代换化为常系数线性齐次微分方程即可.【详解】 令，则 ， ，代入原方程，整理得，解此方程，得通解为 【评注】 本题属基础题型，也可直接套用公式，令，则欧拉方程 ，可化为 （5）设矩阵，矩阵B满足，其中为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则 .【分析】 可先用公式进行化简【详解】 已知等式两边同时右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再两边取行列式，有 ， 而 ，故所求行列式为【评注】 先化简再计算是此类问题求解的特点，而题设含有伴随矩阵，一般均应先利用公式进行化简.（6）设随机变量X服从参数为的指数分布，则= .【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化
8、为定积分计算即可.【详解】 由题设，知，于是 = =【评注】 本题应记住常见指数分布等的期望与方差的数字特征，而不应在考试时再去推算.二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）把时的无穷小量，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是(A) . (B) . (C) . (D) . B 【分析】 先两两进行比较，再排出次序即可.【详解】 ，可排除(C),(D)选项，又 =，可见是比低阶的无穷小量，故应选(B).【评注】 本题是无穷小量的比较问题，也可先将分别与进行比较，再确定相互的高低次序.
9、（8）设函数f(x)连续，且则存在，使得 (A) f(x)在（0，内单调增加. （B）f(x)在内单调减少.(C) 对任意的有f(x)f(0) . (D) 对任意的有f(x)f(0) . C 【分析】 函数f(x)只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除(A),(B)选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可.【详解】 由导数的定义，知 ，根据保号性，知存在，当时，有 即当时，f(x)f(0). 故应选(C).【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论.（9）设为正项级数，下列结论中正确的是 (A) 若=0，则级数收敛.（B） 若存在非零常数，使得，则级
10、数发散.(C) 若级数收敛，则. (D) 若级数发散, 则存在非零常数，使得. B 【分析】 对于敛散性的判定问题，若不便直接推证，往往可用反例通过排除法找到正确选项.【详解】 取，则=0，但发散，排除(A)，(D)；又取，则级数收敛，但，排除(C), 故应选(B).【评注】 本题也可用比较判别法的极限形式， ，而级数发散，因此级数也发散，故应选(B).（10）设f(x)为连续函数，则等于 (A) 2f(2). (B) f(2). (C) f(2). (D) 0. B 【分析】 先求导，再代入t=2求即可.关键是求导前应先交换积分次序，使得被积函数中不含有变量t.【详解】 交换积分次序，得 =
11、于是，从而有 ，故应选(B).【评注】 在应用变限的积分对变量x求导时，应注意被积函数中不能含有变量x: 否则，应先通过恒等变形、变量代换和交换积分次序等将被积函数中的变量x换到积分号外或积分线上.（11）设A是3阶方阵，将A的第1列与第2列交换得B,再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ=C的可逆矩阵Q为(A) . (B) . (C) . (D) . D 【分析】 本题考查初等矩阵的的概念与性质，对A作两次初等列变换，相当于右乘两个相应的初等矩阵，而Q即为此两个初等矩阵的乘积.【详解】由题设，有 ， ，于是， 可见，应选(D).【评注】 涉及到初等变换的问题，应掌握初等矩阵的定义、初等矩
12、阵的性质以及与初等变换的关系.（12）设A,B为满足AB=O的任意两个非零矩阵，则必有(A) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (B) A的列向量组线性相关，B的列向量组线性相关. (C) A的行向量组线性相关，B的行向量组线性相关. (D) A的行向量组线性相关，B的列向量组线性相关. A 【分析】A,B的行列向量组是否线性相关，可从A,B是否行（或列）满秩或Ax=0（Bx=0）是否有非零解进行分析讨论.【详解1】 设A为矩阵，B 为矩阵，则由AB=O知， . 又A,B为非零矩阵，必有r(A)0,r(B)0. 可见r(A)n, r(B)n, 即A的列向量组线性相关，B的行向量组线
13、性相关，故应选(A).【详解2】 由AB=O知，B的每一列均为Ax=0的解，而B为非零矩阵，即Ax=0存在非零解，可见A的列向量组线性相关.同理，由AB=O知，于是有的列向量组，从而B的行向量组线性相关，故应选(A).【评注】 AB=O是常考关系式，一般来说，与此相关的两个结论是应记住的：1） AB=O;2） AB=OB的每列均为Ax=0的解.（13）设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的，数满足，若，则等于(A) . (B) . (C) . (D) . C 【分析】 此类问题的求解，可通过的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论.【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，于是即有 ，可见根据定义有，故应选(C).【评注】 本题相当于分位数，直观地有
