《抽象函数的模型化思考.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《抽象函数的模型化思考.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、抽象函数的模型化思考210008 江苏南京外国语学校 李 平 龙在函数的推理与分析中，常见未给出函数解析式、仅给出函数恒等式或函数方程的一类抽象函数问题。由于问题呈现的都是抽象函数的有关性质，学生便难以像常规问题那样去寻求信息、布置解题方案，即使教师反复多次地把“绝妙”的解题方法奉献给学生，他们偶遇类似问题仍不知所措。本文尝试从特殊模型出发进行思考，以期突破教与学之难点。1 以线性函数为模型的抽象函数体现为对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-b，一次函数y=ax+b便是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，则常可猜测出抽象函数所蕴含
2、的重要性质，并以此作为解题的突破口。例1 已知函数f（x）的定义域为R，对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且=0，当时，。（1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）该函数是否为单调函数，试证明你的结论。分析：一次函数y=2x+1是满足题设的抽象函数中的一员，由此猜想原抽象函数f（x）是非奇非偶函数，且在R上为增函数。这次模型化思考，无疑为我们指明了努力的方向。解 （1）f（0+0）=f（0）+f（0）-1，f（0）=1，故f（x）不是奇函数；又，故f（x）不是偶函数。（2）任取且，则=，故该函数是增函数。评注：当我们利用模型产生联想或猜想时，最为重要的便是利用函数恒
3、等式，从一般到特殊进行赋值推理。新的难点需靠经验的不断积累和能力的逐步增强方可突破。2 以二次函数为模型的抽象函数二次函数在形上的对称性所产生的数量关系的恒等式：f（a-x）=f（a+x），是这类命题的基础。而式也恰好反映了抽象函数关于x=a对称。例2 已知函数f（x）在2，+上为减函数，且f（1-x）=f（3+x），试解关于x的不等式：。分析：恒等式表明了函数f（x）的图象关于直线x=2对称，此时，不必借助于满足条件的一个具体函数y=（x-2）2，也能发现f（x）在（-上为增函数。，原不等式等价于，故原不等式的解集为。3 以指数函数为模型的抽象函数体现为对一切实数x，y都有f（x+y）=f（
4、x）f（y），由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。例3 已知函数f（x）的定义域为R，对一切实数x，y都有f（x+y）=f（x）f（y），且当时，。（1）求f（0）的值；（2）设，试比较f（x1）+f（x2）与的大小，并证明你的结论。分析：依据指数模型可联想到f（0）=1，并且结合图象知f（x1）+f（x2）。下面关键在于合理地利用条件恒等式，实施赋值推理。解 （1）法1 令x=y=0，代入式得，f（0）=f（0）2，则f（0）=0或f（0）=1。若f（0）=0，则f（x）=f（x+0）=f（x）f（0）=0，此与条件矛盾。故f（0）=1。法2 在式中令x=0，得f（y）=f（y）f
5、（0），f（0）=1或f（y）=0。若存在y使f（y）=0，则对任意实数x，有f（x）=f（x-y）+y=f（x-y）f（y）=0，又与条件矛盾。故f（0）=1。（2）f（x1）+f（x2），又时，f（x1）+f（x2）。评注：抽象函数为我们提供了广阔的思维空间，解题时不仅可以探索问题的不同解法，还可以对结论进行发散式的思考。如在本例的条件下，便可发现f（x）、f（x-y）=等结论；还可思索，为确保f（x）是单调函数，是否需要附加条件？4 以对数函数为模型的抽象函数体现为对一切正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），由对数函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式一个函数。例4 已知定义
6、在正实数集上的函数f（x），对一切正实数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y）。（1）求证：对任意正数x，（2）若时，恒有，求证：f（x）必存在反函数。分析：（1），此即对数函数的重要性质，也是本题的证题信息。因f（1）=f（11）=f（1）+f（1），故f（1）=0。（2）由时，恒有，并联想对数函数的性质便可发现：f（x）是减函数，此乃本题的突破口。当时，f（x2）-f（x1）=，即f（x）是定义域上的减函数，故f（x）必存在反函数。5 以三角函数为模型的抽象函数如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（x+y）
7、的抽象函数，则常以正切函数为模型进行联想。例5 已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x）+f（y），f（0），且存在非零常数c使f（c）=0。（1）求f（0）的值；（2）讨论函数f（x）的奇偶性和单调性。分析：由满足条件的一个模型函数是y=cosx，联想知f（0）=1，且f（x）是偶函数。又因=0，且y=cosx的一个周期是，故理应猜测f（x）是以4c为周期的周期函数。解 （1）令x=y=0，代入式得，2f（0）=2f（0）2，又f（0），故f（0）=1；（2）令y=-x，代入式得，f（x）+f（-x）=2 f（0）f（x），f（-x）=f（x），即原函数为偶函数。f（2c+x）+f（x）
8、，f（2c+x）=-f（x），f（4c+x）= -f（2c+x）=f（x），从而f（x）是以4c为周期的周期函数。评注：从特殊走向一般、具体走向抽象，是数学学习与研究的必由之路。在本例条件下经联想与猜测还可证明：f（2c）=-1；或。抽象函数的模型化思考方法，可助你捕捉有益的解题信息，帮你拟定合理的解题计划。值得注意的是，在解题的过程中切不可用满足题中抽象函数的一个模型去代替演绎推理，那样就犯了“以偏概全、以特殊代替一般、具体代替抽象”的逻辑错误。此外，以多种具体函数作为模型的抽象函数推理题已在2001年高考压轴题中出现因此，平时教学中对抽象函数的分析与推理应予以高度重视。第 4 页 共 4 页
