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1、第八节曲线与方程考点一定义法求轨迹方程 例1(2014郑州模拟)已知A(5,0)，B(5,0)，动点P满足|，|,8成等差数列(1)求点P的轨迹方程；(2)对于x轴上的点M，若满足|2，则称点M为点P对应的“比例点”问：对任意一个确定的点P，它总能对应几个“比例点”？自主解答(1)由已知得|8，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a4，b3，c5，点P的轨迹方程为1(x4)(2)设P(x0，y0)(x04)，M(m,0)1，y9；又(5x0，y0)，(5x0，y0)，则| x16又 2|2(x0m)2(y0)2x2mx0m29，由|2得，m22mx070，(*)所以4x28360，方程
2、(*)恒有两个不等实根对任意一个确定的点P，它总能对应2个“比例点”【互动探究】若将本例中的条件“|，|,8”改为“|，|，8”，求点P的轨迹方程解：由已知得|8，点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a4，b3，点P的轨迹方程为1(x4)【方法规律】定义法求轨迹方程及其注意点(1)在利用圆锥曲线的定义法求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制1已知A(0,7)，B(0，7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，
3、B的椭圆，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是什么？解：由题意知|AC|13，|BC|15，|AB|14，又|AF|AC|BF|BC|，|AF|BF|BC|AC|2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支又c7，a1，可得b248，故点F的轨迹方程为y21(y1)2点P(3,0)是圆C：x2y26x550内一定点，动圆M与已知圆相内切且过点P，求圆心M的轨迹方程解：已知圆为(x3)2y264，其圆心C(3,0)，半径为8，由于动圆M过点P，所以|MP|等于动圆的半径r，即|MP|r.又圆M与已知圆C相内切，所以圆心距等于半径之差，即|MC|8r.从而有|MC|8|MP|，即|MC|
4、MP|8.根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆，并且2a8，a4；2c6，c3；b21697，因此圆心M的轨迹方程为1.考点二代入法(相关点法)求轨迹方程 例2(1)(2012辽宁高考改编) 如图，椭圆C0：1(ab0，a，b为常数)，动圆C1：x2y2t，bt1a.点A1，A2分别为C0的左、右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点，则直线AA1与直线A2B的交点M的轨迹方程为_ (2)设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程自主解答(1)设A(x1，y1)，B(x1，y1)，又知A1(a,
5、0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y(xa)，直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故1.从而yb2，代入得1(xa，y0)(2)设M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，(x0，y0)(1，y0)0，x0y0.由2，得(xx0，y)2(x0，y0)，即x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.答案(1)1(xa，y0时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的双曲线(除去顶点)；当10时，轨迹C为中心在原点、焦点在x轴上的椭圆(除去长轴的两个端点)；当1时，轨迹C为以原点为圆心、1为半径的圆(除去点(
6、1,0)，(1,0)；当1时，轨迹C为中心在原点、焦点在y轴上的椭圆(除去短轴的两个端点)直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略(1)题目给出等量关系，求轨迹方程可直接代入即可得出方程(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程可利用已知条件寻找等量关系，得出方程在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(1,1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.求动点P的轨迹方程解：因为点B与点A(1,1)关于原点O对称，所以点B的坐标为(1，1)设点P的坐标为(x，y)，由题设知直线AP与BP的斜率存在且均不为零，则，化简得x23y24(x1)故动点P的轨迹方程为x23y24(x1)课堂归纳通
7、法领悟1个主题坐标法求轨迹方程通过坐标法，由已知条件求轨迹方程，通过对方程的研究，明确曲线的位置、形状以及性质是解析几何需要完成的两大任务，是解析几何的核心问题，也是高考的热点之一3种方法求轨迹方程的三种常用方法明确求轨迹方程的适用条件是求轨迹方程的关键(1)定义法：求轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的类型，应用定义法，这样可以减少运算量，提高解题速度(2)代入法(相关点法)：当所求动点P(x，y)是随着另一动点Q(x，y)(称之为相关点)而运动，且相关点Q满足一曲线方程时，就可用代入法求轨迹方程此时应注意：代入法求轨迹方程是将x，y表示成关于x，y的式子，同时要注意x，y的限制条件(3)直接法：如果动点满足的几何条件本身是一些几何量(如距离与角等)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，就可运用直接法求轨迹方程在运用直接法求轨迹方程时要注意：化简方程的过程中有时破坏了方程的同解性，此时要补上遗漏点或删除多余的点，这是不可忽视的.
