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1、直线的知识点总结、 直线的倾斜角与斜率：1. 直线的倾斜角：1) 定义：当直线与x轴相交时，沿X轴正方向为始边，按照逆时针方 向旋转所得的最小正角；规定：与X轴平行或重合的直线的倾斜角为0；2) 范围：直线I的倾斜角的范围是0 a 0，当a=0时，斜率 k=o；当 0oa q，随着a的增大，斜率k也增大；当a 90。,180。丿时，k 0，随着a的增大，斜率k也增大； 当a = 90。时，k不存在，即直线与y轴平行或者重合. 这样，可以求解倾斜角a的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.b如果知道直线上两点A (x , y )， B (x , y )1 1 2 2y一仝（x 丰 x）ABx 一
2、x21x - x 1212注意：特别地是，当珥=x2，人丰y2时，直线与x轴垂直，斜率k不存在;当珥丰x2，人=y2时，直线与y轴垂直，斜率k=0.(2) k与A、B的顺序无关;(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。C设直线l: Ax + By + C = 0 （B丰0）则k =-弓注：三点A，B，C共线，则k = kAB BC二、直线的方程：点斜式：直线/过点P (x , y )，且斜率为k，其方程为0 0 0 0 0注意：当直线的倾斜角为0时，k=0，直线的方程是y=y0O 当直线的倾斜角为90时，直线的斜率不存
3、在，它的方程不能用点斜式表示但 因l上每一点的横坐标都等于x0,所以它的方程是x=x0。丄0 = k与y - y = k(x - x )是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点P (x , y )，后者才x 一 x000 0 00是整条直线. 斜截式：y = kx + b，直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b。斜截式不能表示 垂直 x 轴直线. 两点式： =_（ x丰x , y丰y）直线两点（x, y ）, （x , y）两点式不能表y y x x 121211222 1 2 1示垂直 x、y 轴直线。 截矩式：兰+ 2 = 1ab其中直线l与x轴交于点（a,0）,与y轴交于点（0, b）,即l
4、与x轴、y轴的截距分别为 a, b截距式不能表示垂直X、y轴及过原点的直线.特殊的方程如:平行于x轴的直线：y二b （b为常数）;平行于y轴的直线：x = a （ a 为常数）； 一般式：Ax + By + C = 0 （A, B不全为0）注意： 注意 A、B 不同时为 0. 直线一般式方程 Ax + By + C = 0 （B丰0）化为斜截式方程 y = -x- C，表示斜率为-，y轴上截距为-的直线.B BBB直线系方程：即具有某一共同性质的直线：1）平行的直线系：平行于已知直线Ax + By + C = 0（ A , B是不全为0的常数）的0 0 0 0 0直线系：Ax + B y +
5、C = 0 （C为常数）002）垂直的直线系：垂直于已知直线Ax + By + C = 0（ A , B是不全为0的常数）的0 0 0 0 0直线系：Bx Ay + C = 0（C为常数）003）过定点的直线系：斜率为k的直线系：y - y0 =血-x0），直线过定点匕y）;过两条直线l : Ax + By + C = 0，/ : A x + B y + C = 0的交点1 1 1 1 2 2 2 2的直线系方程为(Ax + B y + C )+X(A x + B y + C )= 0 (九为参数)，1 1 1 2 2 2其中直线12不在直线系中直线方程的设法：21）知直线纵截距b，直线的方程
6、为y = kx + b ；2）知直线横截距x，直线的方程为x = my + x （它不适用于斜率为000的直线）；3）知直线过点（x , y ），00当斜率k存在时，直线的方程为y = k（x-x ） + y ； 00当斜率k不存在时，则其方程为x = x ；04）与直线l: Ax + By + C = 0平行的直线可表示为Ax + By + C = 0 ；15）与直线l: Ax + By + C = 0垂直的直线可表示为Bx- Ay + C = 0 ；两条直线的位置关系：I Ax + By + C = 0 1 1 1 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组IA2X + B2y +
7、C2二0 .若方 程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条 直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公 共点，此时两条直线重合.l : y 二 k x + b1 iil : y = k x + b2 2 2l : A x+ B y+ C =011111 : A x+ B y+ C =02 2 2 2l与l组成的方1 2程组平行k =k 且 b Hb12 12ABC1 = 1 丰1ABC2 2 2I AB -AB = 0 平行o彳1 22 1I BC -BC 丰0V 1 22 1无解重合k = k 且 b = b12 12ABC1 = r
8、 = rABC2 2 2重合o AB A B = 0且1 2 2 1BC -B C = 012 2 1 有无数多解相交垂直k1Hk2A BA B2 2相交o AB 一 A B丰01 2 2 1有唯一解k1k2=-1垂直 o A A + BB = 01 2 1 2A B C A B A B C提醒：才二B丰CT、才丰B、才二B = C1仅是两直线平行、相交、重合的充分2 2 2 2 2 2 2 2 不必要条件！四、两条直线所成的角：1. 到角：定义：119 9 e到：的角是指直线11绕着交点按逆时针方向转到和直线12重合所转的角 (o, Q.公式定义公式五、k - ktan6 =1 + k1k2
9、 (k1k2 鼻-1);2. 夹角：el 0,- I与l2的夹角是指直线与L所成的最小正角0，6 I 2； k - ktan6 = | 1 + kik2 I (kik2 鼻-1)公式：1.2.两点间的距离公式：设点 A(x , y )，点 B(x , y )，则 |AB| = f(x - x 匕 +11 2 2 12点到直线的距离公式：设点P(x ,y )到直线l: Ax + By + C = 0的距离为d 则 003.4.Ax + By + C = 0| d =00=A2 + B 2平行线间的距离公式设 l: Ax + By + C = 0 与 l : Ax + By + C = 0 的距离
10、为 d，则 d =C1 2 2注：与l: Ax + By + C = 0平行且距离为d的直线方程为l: Ax + By + C +A2 + B2 = 01 2A2 + B 2与l: Ax + By + C = 0和l : Ax + By + C = 0的距离相等的直线的方程为1 2 2 C + Cl: Ax + By + i2 = 0中点坐标公式： 设点A(x ,y )，点B(x ,y )，线段AB的中点为C(x ,y )，贝V1 1 2 2 0 0x + x ,x =1202y + y.y = r02线段的定比分点坐标公式：点P(x ,y )分有向线段PP所成的比为九，点P (x ,y )，点P (x ,y )则: 0 0 1 2 1 1 1 2 2 2x + X xy + X yx =r2， y =r2-01 + X 01 + X
