《数列递推式变形的六种策略.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数列递推式变形的六种策略.doc（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、数列递推式变形的六种策略陕西省汉中市405学校 刘正章 以递推形式给出的数列，我们解决的基本策略是对递推式进行转化变形，这一步实施起来起技巧性强，往往成为解题的难点。为克服这类难点，笔者总结几种数列递推式的变形策略，供参考。策略一 待定系数法 例1已知数列a满足a=1,a=2a+1(nN)（）求数列a的通项公式；（）若数列bn满足(nN*),证明:bn是等差数列。（）略.解析：（）令，则，与已知an+1=2 an+1（nN）比较，得，已知递推式可化为an+1+1=2(an+1),是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列。an+1=2n，即 an=2n1(nN*).（II）见后.例2 已知数列
2、满足求数列的通项公式；解析：令，则 与已知比较得，解得任取其中一组解（不妨取第一组），则条件化为是以为首项，2为公比的等比数列。于是.归纳：满足（c、d为常数且c0）的递推式均可通过待定系数法转化成的形式，而许多数列的递推关系都可以转化为的形式。例2来源于2006年高考福建文22题。一般地，形如（c、d为常数）的递推关系均可利用待定系数法转化成形式，用等比数列性质化为情形.策略二 相减法如例1（）证明：由已知及（），得, 2(b1+b2+bn)-n=nbn 2(b1+b2+bn+1)-(n+1)=(n+1)bn+1 , 由,得2(bn+1-1)=(n+1)bn+1-nbn, (n-1)bn+1
3、-nbn+2=0 , nbn+2=(n+1)bn+1+2=0 ， 又将，得 bn+2+bn=2bn+1 (nN*), bn是等差数列.例3 设数列的前项的和，.求通项.解析: 由 Sn=an2n+1+, n=1,2,3， ， 得 a1=S1= a14+ 所以a1=2.再由有 Sn-1=an-12n+, n=2,3，4, 将和相减得: an=SnSn-1= (anan-1)(2n+12n),n=2,3, 整理得: an+2n=4(an-1+2n-1),n=2,3, , 因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=44n1= 4n, n=1,2,3, , 因而
4、an=4n2n, n=1,2,3, ,例4 已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3.求数列。解析：由已知得 又 由，得，利用待定系数法将上式化为是以为首项，以为公比的等比数列. 采用叠加法易得. 归纳：已知数列的前n项和与项的关系，一般都用相减法，利用公式转化为项或和的关系解决；利用数列及递推式的意义构造等式，采用方程思想作差属基本策略（如例）。策略三 同除法例5 设为常数，且（）证明：对任意；（）略.分析：将两边同除以3n,得，再利用策略一易得.故数列是以，即 例6 已知数列中，求. 解析：将已知两式相减，得，所以，代入已知得，两边同除2n得，叠加得代入，有.例 已知各项均为正数的数
5、列，满足：，且，（）求数列的通项公式；（）略.分析：注意到所给递推分式中每一项都含有，将分子分母同除以，则条件可化为，因此为一个等比数列，其公比为2，首项为，所以. 又an0，由上式解出an.归纳：形如（c、d、r 为常数且）的递推式均可两边同除以，化为的形式，再利用策略一进一步转化为等比数列。递推式两端（或分式的分子分母）是关于齐次式的，不妨考虑用同除法。策略四 取倒数例 已知数列an满足：a1，且an()求数列an的通项公式；（）略解析：已知递推式右边分式的分子比分母简单，因此两边取倒数利于将分式写成部分分式，利于继续变形。本例条件两边取倒易变为：1，所以1为一个等比数列，其首项为1，公比，从而1，据此得an.策略五 取对数例 已知，点在函数的图象上，其中求数列的通项.解：（）由已知，（*），对（*）式两边取对数，得，是公比为2的等比数列.，归纳：本例由2006年山东高考理科22题改编而来，2005年江西高考理科21题与此题属同类型。一般地，形如的递推式均可通过两边取对数转化成，进而用策略一解决。策略六 换元法例10 数列中，试求通项公式.解析：设，则,代入递推关系并整理，得，由策略一容易得，.归纳：本着化无理为有理的原则，对递推式中所含的根式实施换元，是常用的方法。 3
