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1、函数恒建立问题端点效应精选文档函数恒建立专题 01：可求最值型基础知识：（ 1）不等式 f ( x)0在定义域内恒建立，等价于fx min0 ；（2）不等式 f ( x)0在定义域内恒建立，等价于fx max0 。【例 1】【重庆文】若对随意的x0 ， f ( x) 12 x4 ln x3x4c2c2恒建立，求 c 的取值范围。【例 2】函数 f ( x) ( x 1) ln( x1)kx 1在区间 ( 1,) 上恒有 f ( x)0 ，求 k 能够取到的最大整数。【变式 1】函数 f ( x)2x24x, g(x)a ln x( a0) ，若 f (x)4xg ( x) 恒建立，求 a 的取
2、值范围。【变式 2】【 2012 新课标文】设函数f xexax2 求 f ( x) 的单一区间； 若 a1， k 为整数，且当 x0 时， (xk ) f (x)x10 ，求 k 的最大值。【变式 3】【 2012 新课标理】已知函数f (x) 知足 f ( x) f (1)ex 1f (0) x1 x22 求 f ( x) 的分析式及单一区间； 若 f ( x)1 x2ax b ，求 (a1)b 的值。2.精选文档专题 02：分别变量型基础知识：分别变量的核心思想就是为了简化解题，希望同学经过以下例子有所感悟【例 1】【 2010 天津】函数f ( x) x21 ，对随意x3 , f (
3、x )4m2 f ( x)f ( x 1) 4 f (m) 恒建立，务实数 m 的取值范围。2m【变式 1】【 2010 安徽】若不等式 (aa2 )( x21) x 0 对全部 x0,2 恒建立，求 a 的取值范围。【例 2】若函数 f ( x)x2ax1 在 1 ,上单一递加，求 a 的取值范围。x 2【变式 2】【 2012 湖北】若 f ( x)1x2b ln( x 2) 在 ( 1,) 上是减函数，求 b 的取值范围。2【变式 3】【 2014 江西】已知函数 f ( x) ( x2bx b) 1 2 x (bR) ，若 f (x) 在区间 (0, 1) 上单调递加，求 b 的取值范
4、围。3.精选文档专题 03：端点与一次函数、二次函数基础知识：（1）研究发现，恒建立与区间的端点有很深的渊源。 第一来看一些恒建立的问题，经过这些常有的例子，我们要把函数恒建立问题与端点之间的这一层面纱一点一点揭开。（2）一次函数的恒建立很简单，假如一个问题能转变成一次函数恒建立问题，那就要尽量转变。【例 1】【 2009 北京】若 f (x)xex (k0) 在 ( 1,1) 上单一递加，求 k 的取值范围。引申：我们的习惯思想都是默认字母x 为函数的自变量，而像 a, m,t 这样的字母代表参数，但其实 x,a, m, t 这样的字母不过一个代号而已，是人为给予了其身份，这意味着自变量和参
5、数的身份并不是绝对，若题目需要求解参数的取值范围，在此需要切记一点：将待求的变量视为参数，不要受惯性思想的限制而非要将 x 视为函数的自变量，这个方法称为“变换主元法”。【例 2】【 2009 福建】已知函数 f (x) x33ax1的导函数为f (x), g( x) f (x) ax 3. 若对知足 1 a 1 的全部 a 的值，都有 g( x)0 ，务实数x 的取值范围。【例 3】【 2008 天津】已知函数f (x) xab xa b R，若对于随意的1,2，不x(0), ,a2等式 f (x)10 在1 ，4 上恒建立，求 b 的取值范围。4【变式】【 2008 安徽】设函数f ( x
6、)a x3 3 x2 (a 1) x 1，此中 a 为实数。3 2 已知函数 f (x) 在 x 1 处获得极值，求 a 的值； 已知 f (x)x2xa1 对随意 a0,恒建立，务实数 x 的取值范围。.精选文档（ 3）对于一次函数或任何单一函数而言，最值必在端点处获得。若函数不但一，那情况又怎样呢？设 f ( x)ax2bxc(a 0) 在 ， 上不但一且恒大于零， 那么f ( x) 在 ， b上递减，在b ,上递加，故 f ( x) 的最大值也必定在端点处2a2a获得。因此对于任何一个函数f ( x) 而言，若他在区间上是先减后增，则其最大值必在端点处获得，同理，若函数在区间上先增后减，
7、其最小值必在区间端点处获得，详细表达以下： f (x)ax2bxc(a0) 在 x1, x2f x10,上非正，等价于0;f x2 f (x)ax2bxc(a0) 在 x1, x2f x10,上非负，等价于0;f x2【例 1】已知函数 f ( x)x3ax2bxc 在区间1,0 上单一递减，则 a 2b2 的取值范围是_.【例 2】函数 f ( x)1 x3mx23m2 x1 在区间 1,2 上单一递加，则实数 m 的取值范围是 _.3.精选文档专题 04：端点效应基础知识：以前面的例子能够看出，将函数恒正（恒负）等价于在区间端点处恒正（恒负）即可。但那不过针对一小部分题，对于大部分状况来说
8、这是不对的，但这不意味着端点就没有任何作用了。【例 1】已知函数 f ( x)x33( a1) x26ax ，当 a0 时，若函数 f (x) 在区间1,2 上是单一函数，求 a 的取值范围 .【例 2】【 2008 江苏】设函数f (x)ax 33x1，若对于 x1,1 总有 f ( x)0 恒建立，则a =_.说明：在例 1 和例 2 中，都是预先考虑函数在端点的情况，固然经过端点不可以获取最后结果，但例1 经过端点能够不用考虑单增情况，例2 经过端点能够减小 a 的范围，我们把这类经过端点来减小参数取值范围的方法称为“端点效应”。函数在端点处的取值有以下三种情况：（ 1）f (x) 在区
9、间 a,bf ( a)0,的端点 a 和 b 处均有定义且0;f (b)（ 2） f (x) 在区间 a,b的端点 a 或 b 处无定义或区间是无穷区间a, b ；（ 3） f (x) 在区间 a,b的端点 a 或 b 处有 f (a) 0 或 f (b)0。一、端点处的取值存心义且不为 0【例 1】【 2008 天津】设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时， f ( x)x2 ，若对随意的x t, t2 ，不等式 f ( x t ) 2 f (x) 恒建立，则 t 的取值范围是（）A.2,B.2,C.0,2D.2,12,.精选文档【例 2】若 f ( x)ax2(3a) x
10、2a0在 0,1 上恒建立，则实数a 的取值范围是 _【变式 1】【 2013 全国卷】已知函数f ( x)x33ax 23x1，当 x2,时， f ( x)0 ，求 a的取值范围。【变式 2】【 2012 江西】已知函数 f ( x)ax 2( a 1) x 1 ex 在 0,1 上单一递减， 求 a 的取值范围。【变式 3】【 2010 天津】已知函数 f ( x) ax33 x 2 1, a 0 ，若在区间1 , 1上 f ( x)0 恒222建立，求 a 的取值范围。二、端点处的取值没存心义且趋于无量f ( x)ln x 的定义域是0,，且当 x 趋于 0 时， f ( x)ln x 趋于负无量，当 x 趋于时，f ( x)ln x 趋于正无量， 为了后边方便表述， 记 f (0), f ()。而后不论函数f ( x) 在区间的端点 a 处有没存心义，也不论a 能否为无量，我们均记f ( a) 为当 x 趋于 a 时 f ( x) 的值。这样的记法为了后边的表达。【例 1】【 2012 新课标】当 0x1 时， 4x log a x ，则 a 的取值范围是（）2A.0,2B.2,1C.1,2D.2,222【例 2】函数 f ( x)a ln x1 x2 (1 a) x( x 0) ，若 f ( x) 0 对定义域内随意 x 恒建立，务实数2a 的取值范围。【例 3
