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1、 2020年高三期末考试数学试题（理科）考生注意：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分考试时间120分钟2请将各题答案填写在答题卡上3本试卷主要考试内容:高考全部内容第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（ ）ABCD2设集合，则（ ）ABCD3“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”最先出自易经，太极是可以无限二分的，“分阴分阳，迭用柔刚”，经过三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦设经过n次二分形成卦，则（ ）A120B122C124D1284的展开式中的第三项为（ ）ABCD5已
2、知向量，满足，且，则（ ）AB2CD6若双曲线的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为（ ）ABCD7已知一个扇形的圆心角为，弧长为，半径为2若，则（ ）AB7CD8在正方体中，E，F分别是棱，BC的中点，现有下列四个结论：A，E，F，四点共面；平面平面；平面；与平面ABCD所成角为其中正确的结论的个数是（ ）A1B2C3D49设x，y满足约束条件，且的最大值为1，则的最小值为（ ）A64B81C100D12110已知点在抛物线上，若数列是首项为，公比为2的等比数列，点F是C的焦点，则（ ）A521B1033C524D103511设函数，的零点分别为a，b，c，则（ ）ABCD12已知
3、奇函数的定义域为，且对任意，恒成立，则不等式组的解集是（ ）ABCD第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置13假设某地5月每天出现下雨天气的概率为，且5月1日至5月6日这6天出现下雨天气的天数X的数学期望为1.2，则_14若公差为2的等差数列的前两项和为0，则该数列的前n项和_15已知是周期为4的奇函数，当时，当时，若直线与的图象在内的交点个数为m，直线与的图象在内的交点个数为n，且，则a的取值范围是_16在正方体中，E，F分别为棱AB，的中点，则该正方体被平面CEF所截得的截面面积为_，四面体BCEF外接球的表面积为_（本题第一空
4、2分，第二空3分）三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题；共60分17（12分）a，b，c分别为内角A，B，C的对边已知，且（1）若，求的面积；（2）若，证明：为直角三角形18（12分）某企业投资两个新型项目，投资新型项目A的投资额m（单位：十万元）与纯利润n（单位：万元）的关系式为，投资新型项目B的投资额x（单位：十万元）与纯利润y（单位：万元）的散点图如图所示（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若A，B两个项目都投资60万元，试预
5、测哪个项目的收益更好附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，19（12分）如图，在中，沿DE将点A折至处，使得，点M为的中点（1）证明：平面CMD；（2）求二面角的余弦值20（12分）已知椭圆的离心率为，且焦距为8（1）求C的方程；（2）设直线l的倾斜角为，且与C交于A，B两点，点O为坐标原点，求面积的最大值21（12分）已知函数（1）设曲线在点处的切线为l，求l的斜率的最小值；（2）若对恒成立，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生从第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一个题目计分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为
6、参数，），且曲线C经过坐标原点O以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C的极坐标方程；（2）设P是曲线C上一动点，与极轴交于点A，求的取值范围23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的最小值为4，且，证明：2020年高三期末考试数学试题参考答案（理科）1D2D因为，所以3A依题意可得是首项为2，公比为2的等比数列，则4B的展开式中的第三项5B因为，所以，则，所以，故6CC的标准方程为，依题意可得，解得，则7A因为，所以，又，所以8B如图，因为AF与异面，所以A，E，F，四点不共面，故错误易证平面，因为平面ACE，所以平面平
7、面，故正确因为平面平面，且平面，所以平面，故正确因为与平面ABCD所成角为，且，故错误9D作出约束条件表示的可行域（图略），因为，所以当直线经过点时，取得最大值，则，所以，当且仅当时，等号成立，故的最小值为12110B易知F的坐标为，则依题意可知，则，所以11A设函数，则a是与图象交点的横坐标，b是与图象交点的横坐标，c是与图象交点的横坐标在同一坐标系中，作出，的图象，如图所示由图可知12C设，则，则在上单调递增因为是定义域为的奇函数，所以，则不等式组等价于，即，则，解得130.2依题意可得，则，解得14因为，所以，则15依题意可作出在上的图象，如图所示因为，所以由图可知，解得16；因为平面C
8、EF与平面的交线为，所以截面为四边形，而四边形为等腰梯形，且，故其面积为设线段CE的中点为G，四面体BCEF外接球的球心为O，则平面BCE设球O的半径为R，则因为，所以，从而，故球O的表面积为17（1）解：因为，所以，因为，所以，又，则因为，所以，故的面积（2）证明：因为，所以，解得（负根舍去）所以，则C为直角，故为直角三角形18解：（1），则，故y关于x的线性回归方程为（2）若A项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；若B项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元因为，所以可预测B项目的收益更好19（1）证明：由，且，可得平面，因此由，得，因此，由勾股定理可得又因为点M为
9、的中点，所以而，故平面CMD（2）解：因为，所以平面，又，所以平面如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则，易知是平面CMB的一个法向量设平面CME的法向量为，则，即，令，得，易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为20解：（1）依题意可知，解得，故C的方程为（2）依题意可设直线l的方程为，联立，整理得，则，解得设，则，原点到直线的距离，则的面积，当且仅当，即时，的面积有最大值，且最大值为21解：（1），则，设，则，当时，；当时，所以，即l的斜率的最小值为（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以设，易知在上单调递增因为，所以存在，使得，即当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以，从而，故a的取值范围为22解：（1）由，得，即，因为曲线C经过坐标原点O，所以，又，所以故C的极坐标方程为，即（或）（2）因为l的极坐标方程为，即，所以l的直角坐标方程为令，得，则A的直角坐标为，由（1）知，曲线C表示圆心为，半径为4的圆且，故的取值范围为23（1）解：当时，由，得当时，则；当时，则；当时，则故不等式的解集为（2）证明：因为，且，所以的最小值为因为函数为增函数，且，所以从而，因为，所以由柯西不等式得，即，所以（当且仅当，时等号成立）
