《2021版高考数学一轮复习第八章数列8.2等差数列练习理北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版高考数学一轮复习第八章数列8.2等差数列练习理北师大版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8.2 等差数列核心考点精准研析考点一等差数列的基本运算1.在等差数列an中,a1+a5=8,a4=7,则a5=()A.11B.10C.7D.32.已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S8=4S4,则a10= ()A.B.C.10D.123.(2020沈阳模拟)在等差数列an中,若Sn为前n项和,2a7=a8+5,则S11的值是 ()A.55B.11C.50D.604.(2019全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和.已知S4=0,a5=5,则 ()A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn=2n2-8nD.Sn=n2-2n5.设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=
2、-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=_.【解析】1.选B.设等差数列an的公差为d,则有解得所以a5=-2+43=10.2.选B.由公差为1得S8=8a1+1=8a1+28,S4=4a1+6.因为S8=4S4,所以8a1+28=4(4a1+6),解得a1=,所以a10=a1+9d=+9=.3.选A.设等差数列an的公差为d,由题意可得2(a1+6d)=a1+7d+5,得a1+5d=5,则S11=11a1+d=11(a1+5d)=115=55.4.选A.设等差数列an的公差为d,由题知,解得所以an=2n-5.5.由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm
3、+1-Sm=3,所以等差数列的公差d=am+1-am=3-2=1,由得解得答案:5第3题中若将条件“2a7=a8+5”改为“a9=a12+6”,其他条件不变,则数列an的前11项和S11等于_.【解析】S11=11a6,设公差为d,由a9=a12+6得a6+3d=(a6+6d)+6,解得a6=12,所以S11=1112=132.答案:132【继续探究】已知等差数列an的前n项和为Sn,且a9=a12+6,a2=4,则数列的前2 021项和为()A.B.C.D.【解析】选D.设等差数列an的公差为d,由a9=a12+6及等差数列的通项公式得a1+5d=12,又a2=4,所以a1=2,d=2,所以
4、Sn=n2+n,所以=-,所以+=+=1-=.等差数列运算问题的通性方法1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式,共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.【秒杀绝招】1.应用性质解T1 由等差数列的性质得a1+a5=2a3=8,所以a3=4,故d=a4-a3=3.所以 a5=a4+d=10.2.应用变形公式解T3设等差数列an的公差为d,由2a7=a8+5,得2(a6+d)=a6+2d+5,得a6=5,所以S11=11a6=55.3.应用排除法
5、解T4 对于B,a5=5,S4=-100,排除B,对于C,S4=0,a5=S5-S4=252-85-0=105,排除C.对于D,S4=0,a5=S5-S4=52-25-0=2.55,排除D,故选A.考点二等差数列的判定与证明 【典例】1.已知数列an满足a1=-,an+1=(nN*). (1)证明:数列 是等差数列;(2)求an的通项公式.【解题导思】序号题目拆解(1)an+1= 先凑an+1+1产生an+1+1an+1+1取倒数产生-=常数(2)数列是等差数列由(1)写出的通项公式,求出an的通项公式【解析】(1)因为an+1+1=+1=,所以=3+,所以 -=3,所以是首项为=3,公差为3
6、的等差数列.(2)由(1)得=3n,所以an=-1.2.数列an满足a1=1,an+1=(n2+n-)an(nN*),(1)当a2= -1时,求的值及a3的值;(2)是否存在,使数列an为等差数列?若存在,求出其通项公式,若不存在,说明理由.【解题导思】序号联想解题(1)看到an+1=(n2+n-)an,想到数列的递推公式(2)看到an+1=(n2+n-)an,结合(1)想到若数列an为等差数列,可求,结合等差数列的定义判断【解析】(1)因为an+1=(n2+n-)an,a1=1, a2=-1,所以-1=(2-)1,解得=3.所以a3=(22+2-3)(-1)=-3.(2)不存在,使数列an为
7、等差数列,说明如下:因为a1=1,an+1=(n2+n-)an(nN*).所以,a2=2-,a3=(6-)(2-),a4=(12-)(6-)(2-),若存在实数,使数列an为等差数列.则a1+a3=2a2,即1+(6-)(2-)=2(2-),解得:=3.此时a2=2-=2-3=-1,a3=(6-)(2-)=-3,a4=(12-)(6-)(2-)=-27,a2-a1=-1-1=-2,而a4-a3=-24.所以,数列an不是等差数列,即不存在使数列an为等差数列.1.判断数列an是等差数列的常用方法(1)定义法:对任意nN*,an+1-an是同一常数.(2)等差中项法:对任意n2,nN*,满足2a
8、n=an+1+an-1.(3)通项公式法:对任意nN*,都满足an=pn+q(p,q为常数).(4)前n项和公式法:对任意nN*,都满足Sn=An2+Bn(A,B为常数).说明:证明数列an是等差数列的最终方法只能用定义法和等差中项法.2.证明某数列不是等差数列若证明某数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.(1)求a及k的值;(2)已知数列bn满足bn=,证明数列bn是等差数列,并求其前n项和Tn.【解析】(1)设该等差数列为an,则a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,
9、公差d=4-2=2,所以Sk=ka1+d=2k+2=k2+k.由Sk=110,得k2+k-110=0,解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10.(2)由(1)得Sn=n(n+1),则bn=n+1,故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列bn是首项为2,公差为1的等差数列,所以bn=n+1,所以Tn=.考点三等差数列性质及其应用命题精解读1.考什么:(1)等差数列性质.(2)等差数列前n项和的最值2.怎么考:等差数列性质作为考查等差数列运算知识的最佳载体,因其考查知识点较多成为高考命题的热点3.新趋势:解题过程中常常渗透数学运算的核心素养.学霸好方法1.等差数列的常用性质
10、和结论的运用2.求等差数列前n项和Sn最值的两种方法(1)函数法(2)通项变号法3.交汇问题数列与不等式结合考查分类讨论思想、数列与函数结合考查数形结合思想与等差数列项的性质有关的运算【典例】1.(2020武汉模拟)在等差数列an中,前n项和Sn满足S7-S2=45,则a5=()A.7B.9C.14D.18【解析】选B.因为在等差数列an中,S7-S2=45,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.【一题多解】选B.设等差数列an的公差为d,因为在等差数列an中,S7-S2=45,所以7a1+d-(2a1+d)=45,整理得a1+4d=9,所以a5=9,故选B.2.(20
11、20太原模拟)在等差数列an中,2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=36,则a6= ()A.8B.6C.4D.3【解析】选D.由等差数列的性质可知2(a1+a3+a5)+3(a8+a10)=23a3+32a9=62a6=36,得a6=3.在等差数列中涉及两项和时,应用哪些性质能够帮助我们快速解题?提示:在等差数列中涉及两项和时,一定要注意其项数和的关系,如果和相等,则两项的和也对应相等. 等差数列和的性质【典例】1.一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为()A.18B.12C.10D.6【解析】选C.设此数列为an因为an是等差数列,所以Sn, -Sn,
12、- 成等差数列,即2(-Sn)=Sn+(-),因为Sn=3, =21,所以2(-3)=3+21-,解得=10.2.等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,若 =,则=_.【解析】由=.则=.答案: 在等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,成等差数列吗?提示:在等差数列中Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,仍成等差数列.等差数列和的最值问题【典例】等差数列an中,a10,S5=S12,则当Sn有最大值时,n的值为_.【解析】设等差数列an的公差为d,由S5=S12得5a1+10d=12a1+66d,所以d=-a10可知d0,d0时,满足的项数n使得Sn取得最大值;当a10时,满足的
13、项数n使得Sn取得最小值.1.(2020济南模拟)等差数列an的前n项和为Sn,若a1+a3+a5+a7+a9=20,则S9=()A.27B.36C.45D.54【解析】选B.依题意a1+a3+a5+a7+a9=5a5=20,a5=4,所以S9=9=9a5=36.2.已知数列an的通项公式an=26-2n,若使此数列的前n项和Sn最大,则n的值为()A.12B.13C.12或13D.14【解析】选C.因为是递减数列,a12=2,a13=0,所以S12=S13最大,所以n的值为12或13.【变式备选】设等差数列an的前n项和为Sn,若S6S7S5,则满足SnSn+10的正整数n的值为()A.10B.11C.
