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1、第七章：粒子在电磁场中的运动P3677.1，7.2证明在磁场中，带电粒子的速度算符的各分量，满足下述的对易关系： （1） （2） （3）证明根据正则方程组： ，同理 是正则动量，不等于机械动量，将所得结果代入（1）的等号左方： = （4）正则动量与梯度算符相对应，即 ，因此 又仅与点的坐标有关 （因）其余二式依轮换对称写出。P368证明在规范变换下 （1） （2） （机械动量的平均值）都不变 （3）（证明）如课本证明，要规范变换下，若将体系的波函数作以下变换（P368 20式） （4）则薛定谔方程形式不变，将（4）代入（1）式等号右方，设变换后几率密度：又设变换后几率流密度是，将（4）代入（2
2、）式右方，同时又代入 （5）注意到算符的对易关系推广到三维： （6）令则有： （7） (8)将（7）(8)代入（5）式等号右方第一项第二项，（5）式成为： （9）在证明第3式时，设变换后的 是 。写出右方平均值的显式，用（4）的波数变换，和的矢势的变换式：前式第一个积分可重复用（7）式，得：命题得证P3827.47.13.137.23.127.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，求能级本征值和本征。（参导论）解：以电场方向为轴，磁场方向为轴，则， （1）去电磁场的标势和矢势为， （2）满足关系 ， 粒子的Hamiton量为 （3）取守恒量完全集为，它们的共同本征函数可写成 （4
3、）其中和为本征值，可取任意函数。满足能量本证方程： 因此满足方程 （5）亦即，对于来说，和式等价： （6）其中 （7）式（6）相当于一维谐振子能量算符再加上两项函数，因此本题能级为 （8）其中和为任意实数， 式（4）中 为以为变量的一维谐振子能量本征函数，即 （9）为厄密多项式， 。7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，求能级本征值和本征函数。解：以电场方向为轴，磁场方向为轴，则， （1）去电磁场的标势和矢势为， （2）满足关系 ， 粒子的Hamiton量为 （3）取守恒量完全集为，它们的共同本征函数可写成 （4）其中和为本征值，可取任意函数。满足能量本证方程： 因此满足方程
4、 （5）亦即，对于来说，和式等价： （6）其中 （7）式（6）相当于一维谐振子能量算符再加上两项函数，因此本题能级为 （8）其中和为任意实数， 式（4）中 为以为变量的一维谐振子能量本征函数，即 （9）为厄密多项式， 。7.1设带电粒子相互的均匀电场和均匀磁场中运动，求其能谱及波函数（取磁场方向为z轴，电场方向为x轴方向） 解 为使能量本征方程能够求得，可以这样选择矢势，使 设电场的大小是,选择标势，使场沿着x轴， 哈密顿算符是：（1） 中不出现y和z，因此 可以依照本章中7。2均匀磁场中带电粒子的运动的解法，先求能量本征函数，由于，守恒，波函数包括这两个算符的本征函数作为其构成因子： （2）
5、代入能量本征方程式：整理，并约去同因式后，得到X（x）的本征方程 （3）或者简写作式中 ，方程式（3）明显的是一个沿x方向振动的谐振子的定态薛定谔方程式，它的固有频率是，振动中心在一点上，同时具有能量本征值： 其中是有关于y、z方向的分能量，按一维谐振子理论，它的能级是 (4)它的本征函数写作 （5）这个运动电荷的总能量E是： （6）7.2设带电粒子在均匀磁场及三维各向同性谐振子场中运动，求能谱公式。解 本题采用柱面座标时，可以像第4题那样，将本征函数表示成合流超几何级数，因而决定能量本征值，解法也类似。 粒子座标为 令 此外应将谐振子的弹性力场写成柱面形成： 根据本章习题4中合 算符公式（2
6、）再添上前述附加项： （1）哈氏算符的两面部分与有关，第二部分与z有关，这二者是对易，因此能量本征值也分二部分，可以分别计算，也可有分离变量法将本征函数分为二部分： （2）得到： （3） （3）式左方的哈氏算符可以和对易，因此可以和这个算符的本征函数有共同因式可设 （4）但将（4）代入（3）得：整理后写成： (5)这个方程式和第4题的方程式（5）是相似的，其中，本题方程式（5）的相当于第4题（5）式的得，此外（5）式多出一项 这是谐振紫弹性力场势能，第四题的径向方程式是： 通过交换，得到合流超几何方程式（从略）以及能级公式 (6)式子的第一项是z方向运动的能量，第二项代表与有关横向能量，它与 成正比，将（5）与比较，令 得到本题的能级如下：（7） 这各能量公式的第一项是z向运动的方程式的决定的一维谐振自的能级，在公式（7）中
