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1、 函式知识点精华总结 考点4:求函式的值域 求值域的几种常用方法 (1)配方法:对于(可化为)“二次函式型”的函式常用配方法, 如求函式,可变为解决 (2)根本函式法:一些由根本函式複合而成的函式可以利用根本函式的值域来求, 如函式就是利用函式和的值域来求。 (3)判别式法:通过对二次方程的实根的判别求值域。 如求函式的值域 (4)分离常数法:常用来求“分式型”函式的值域。 如求函式的值域,因为 (5)利用根本不等式求值域: 如求函式的值域 (6)利用函式的单调性求值域: 如求函式的值域 (7)图象法:假如函式的图象比较简单作出,则可根据图象直观地得出函式的值域 (8)导数法:一般适用于高次多
2、项式函式,如求函式,的最小值 (9)对勾函式法:像y=x+,(m0)的函式.(m0就是单调函式了) 三种模型:(1) (2) (3) 函式的单调性 1、函式的单调性定义: 设函式的定义域为,区间 假如对于区间内的任意两个值,当时,都有,那么就说在区间上是单调增函式,称为的单调增区间; 假如对于区间内的任意两个值,当时,都有,那么就说在区间上是单调减函式,称为的单调减区间 假如用导数的语言来,那就是:设函式,假如在某区间上,那么为区间上的增函式;假如在某区间上,那么为区间上的减函式; 2、确定函式的单调性或单调区间的常用方法: (1)定义法:(取值作差或者作商变形定号); 导数法:在区间内,若总
3、有,则为增函式;反之,若在区间内为增函式,则, (2)在选择填空题中还可用数形结合法、特别值法等,留意,型函式的图象和单调性在解题中的运用:增区间为,减区间为. (3)複合函式法:複合函式单调性的特点是“同增异减” (4)若与在定义域内都是增函式(减函式),那么在其公共定义域内是增函式(减函式) 3、单调性的说明: (1)函式的单调性只能在函式的定义域内来讨论,所以求函式的单调区间,必须先求函式的定义域; (2)函式单调性定义中的,有三个特徵:一是任意性;二是大小,即;三是同属于一个单调区间,三者缺一不行;对 4、函式的最值 max min 设函式的定义域为 假如存在定值,使得对于任意,有恆成
4、立,那么称为的最大值;假如存在定值,使得对于任意,有恆成立,那么称为的最小值。 函式的奇偶性 1、函式的奇偶性的定义: 1对于函式的定义域内任意一个,都有(或),则称为奇函式. 奇函式的图象关于原点对称。 2对于函式的定义域内任意一个,都有或,则称为偶函式. 偶函式的图象关于轴对称。 3通常採用影象或定义判断函式的奇偶性. 具有奇偶性的函式,其定义域关于原点对称(也就是说,函式为奇函式或偶函式的必要条件是其定义域关于原点对称) 2.函式的奇偶性的判断: (1)可以利用奇偶函式的定义判断 (2)利用定义的等价形式,,() (3)影象法:奇函式的图象关于原点对称;偶函式的图象关于轴对称 3函式奇偶
5、性的性质: (1)奇函式在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全一样;偶函式在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. (2)若奇函式定义域中含有0,则必有.故是为奇函式的既不充分也不必要条件. (3)定义在关于原点对称区间上的任意一个函式,都可表示成“一个奇函式与一个偶函式的和(或差)”。如设是定义域为r的任一函式,。 (4)複合函式的奇偶性特点是:“内偶则偶,内奇同外”. (5)设,的定义域分别是,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇 函式的週期性 1函式的週期性的定义:对于函式,假如存在一个非零常数,使得定义域内的每一个值,都满足,那么函式就叫做周期函式,非零常数叫做这个函式的週期。 2週期性的性质 (1)若影象有两条对称轴,则必是周期函式,且一週期为; (2)若影象有两个对称中心,则是周期函式,且一週期为; (3)假如函式的影象有一个对称中心和一条对称轴,则函式必是周期函式,且一週期为; (4)若f(x+a)=f(x+b) 则t=|b-a|; 函式满足,则是週期为2的周期函式; 若恆成立,则; 若恆成立,则.