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1、赣马高级中学2011高三考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数（1）044简单的有理函数与无理函数是由一、二次幂函数的复合 自我提醒1我们在研究分式函数值域时，除了分离常数法、导数法、单调性法、直接法、逆求法等外，还有一种重要的解法就是判别式法。判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x的方程应有实数解，利用方程思想、等价转化思想将二次分式函数表达式变形成为关于自变量的一元二次方程，从而将函数自变量变成方程的 “元”，根据定义域求函数值域的问题就自然转化成为方程解的问题。注意：在用判别式法求函数的值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数定义
2、域和值域，因此，如果原函数定义域不是全体实数，判别式法求出来的值域很可能比实际上的范围要大。2分式函数求值域： 、直接法；、分离常数、不等式法（可借助整体换元）； 、不等式法（分子分母除以，且）、 可用分离常数、判别式法求（分母恒不为零）。函数有界性（定义域为R）,斜率定义。自我检测1求函数的值域 2求函数的值域 3求函数的值域 4求函数的值域（不能用判别式法）5求函数的值域 6求函数的值域。7求函数的值域 8（2009江苏高考）求函数最大值 9（08重庆文12）函数f(x)=(0x2)的值域是 10求下列函数的值域：（1）（2）（3）考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数（2）045简单
3、的有理函数与无理函数是由一、二次幂函数的复合 自我提醒1我们在研究分式函数值域时，除了分离常数法、导数法、单调性法、直接法、逆求法等外，还有一种重要的解法就是判别式法。判别式法的理论依据是：任何一个函数的定义域应是非空数集，故将原函数看成关于x的方程应有实数解，利用方程思想、等价转化思想将二次分式函数表达式变形成为关于自变量的一元二次方程，从而将函数自变量变成方程的 “元”，根据定义域求函数值域的问题就自然转化成为方程解的问题。注意：在用判别式法求函数的值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数定义域和值域，因此，如果原函数定义域不是全体实数，判别式法求出来的值域很可能比实际上的
4、范围要大。2无理函数求值域：直接法、配方法、二次函数图解法；代数换元法，平方判别式法； 三角换元法；、单调性法几何意义法 3. 平方法：平方判别式法求值域；平方求单调性 自我检测1判断函数y= 的奇偶性 2函数的奇偶性 3求函数的值域 4求函数的值域 5湖北理4文8） 函数的定义域为 6的值域7求函数值域 8求函数的值域9求函数的值域。10求函数的值域 11（2008江苏高考）（）的值域 12求下列函数的值域：（1）；（2） ； （3） ；（4） （5）；（6）考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数（1） 自我检测1 (直接法) ，。.2解（分离变量法），函数的值域为3解析：（直接法），即
5、 。根据不等式性质，。因此，函数的值域是。4解 原函数可化为= ，即,，且故原函数的值域为 |且。5解析：（单调性法），用的单调性可得，值域为。6解 原式变形为 （*）（1）当时，方程（*）无解；（2）当时，解得。由（1）、（2）得，此函数的值域为7解析：（法一）（函数的有界性）：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，容易求得原函数的值为。8 =9（解：令，则，当时，当且仅当时取等号。同理可得当时，综上可知的值域为，故选C。10：（1）（分离常数法）原函数可化为y=(x1), 即y=1+(x1), 0,原函数的值域为。（2）（换元、
6、分离常数法），（注：也可以设），当且仅当时，即时等号成立，原函数的值域为（3）解析：（法一）（函数的有界性）：原函数可化为：，（其中），原函数的值域为（法二）数形结合法：可看作求点与圆上的点的连线的斜率的范围，容易求得原函数的值域为。考点突破专题二十一 简单有理函数与无理函数（2） 自我检测1既奇又偶函数。2既不是偶函数，也不是奇函数 解析：函数定义域，函数既不是偶函数，也不是奇函数。3解： 定义域为，且函数在定义域上是增函数所以当时，当时，函数的值域为。 4 (代数换元法)设 （t0） t0 y4 5解：函数的定义域必须满足条件：6解析： 定义域为，且函数在定义域上是增函数，所以当时，当时，
7、函数的值域为。7解析：设（），则原函数可化为 又，故，的值域为 8(代数换元法)设 （t0） t0 y49解：（换元法） 令，则t0，得，又0，故原函数的值域为（单调性）定义域为，且函数在定义域上是增函数，所以当时，函数的值域为10解：（平方法） ，使有意义，必须且，即，的取值范围是。11方法1：，令得，此时易得方法2：由得，平方并化简得，应有，即，所以或（舍去），当时，此时易得.方法3：令，则，只需求的最小值即可，平方化简得，应有，显然，故，当时，即，此时易得 12（1）（配方法、二次函数图像法），。所以，函数值域是 2，4；（2）（不等式法）：若，；若 ，；若所以，函数的值域是。(判别式法)：。若有两个实数解，解得且若 所以，函数的值域是。（3）（代数换元法）：设，则，原函数可化为，原函数值域为（4）（三角换元法）：，设，则，原函数的值域为（5）（不等式法），当且仅当时，取等号。函数值域为。（6）（ 平方法），使有意义，必须且，即， 的取值范围是。
