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1、第五章 弯曲应力5.1 纯弯曲5.2 纯弯曲时的正应力5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力5.4 弯曲切应力5.6 提高弯曲强度的措施5.1 纯弯曲1.2观察变形以矩形截面梁为例（1）变形前的直线、变形后成为曲线、，变形前的，变形后仍为直线、，然而却相对转过了一个角度，且仍与、曲线相垂直。 （2）平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。（3）设想设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为
2、缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。（4）中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139note：可以证明，中性轴为形心主轴。5.2 纯弯曲时的正应力1正应力分布规律：变形几何关系物理关系静力关系（1）变形几何关系取dx微段来研究，竖直对称轴为y轴，中性轴为z轴，距中性层为y的任一纤维的线应变。（a）（2）物理关系因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律 （b）此式表明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴
3、的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。（3）静力关系横截面上的微内力dA组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力系可能简化为三个内力分量：横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me。由于内外力必须满足平衡方程，故： （c） 式（b）代入式（c） 结论：Z轴（中性轴）通过形心。 （d） 式（b）代入式（d） 结论：y轴为对称轴，上式自然满足（e） 式（b）代入式（e）（f） 式（f）可写成（g）式中为梁轴线变形后的曲率，EIZ称为梁的抗弯刚度。 2纯弯曲时梁的正应力计算公式由式（g）和式（b）中消去得讨论：（1）导出公式时用了矩形截面
4、，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。（2）只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用。（3）横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需用y坐标的正负来判定。5-3 横力弯曲（剪切弯曲）时的正应力1纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲讨论：公式的适用条件（1）平面弯曲（2）纯弯曲或l/h5的横力弯曲（，）（3）应力小于比例极限。2最大正应力引入记号：W抗弯截面系数（m3）讨论： （1）等直梁而言max发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处ymax。（2）对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数WZ两个因素。3强度条件 （1）对抗
5、拉抗压强度相同的材料，只要即可（2）对抗拉抗压强度不等的材料（如铸铁）则应同时满足：4强度计算（1）强度校核（2）设计截面尺寸：（3）确定许用载荷：Example1 空气泵操作杆，右端受力F1=8.5kN，1-1、2-2截面相同，均为h/b=3的矩形，若=50MPa，试选用1-1、2-2截面尺寸。Solution求F2 kN求截面弯矩M1=8.5(0.72-0.08)=5.44kNm M2=16.1(0.38-0.08)=4.38kNm故：kNm设计截面mm3mm3mmh=125mm5.4 弯曲切应力切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。1矩形截面梁（1）
6、切应力的分布规律当hb时，按上述假设得到的解答与精确解相比有足够的准确度。（2）切应力沿截面高度的变化规律从梁中取出dx段，而微段上无载荷作用。截面上的和的分布如图研究微块的平衡 （a）式中：为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。 （b）考虑到微块顶面上相切的内力系的合力 （c）（d）式（a）、（b）、（c）代入式（d） （e） （d） （f）由切应力互等定理，横截面上pq线处切应力为（g）这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。讨论：a. 横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b. 矩形截面如图 or说明切应力沿截面高度按抛物线规律变化。c. 当时，=0 当y=0时，d. 考虑到2工字形截
7、面梁 （1）计算表明：截面上剪力FS的9597%由腹板承担，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均适用（方向与FS一致，设宽度均布），采用矩形截面方法可得：式中：以y=0，代入上式得b0b，故K1K2，所以，矩形截面梁竖放比平放要好。（2） 截面合理性，经济性用比值来评价，引入，K值越大截面越合理。3等强度梁的设计（1）等截面梁是按最大弯矩设计（2）等强度梁是按变截面设计（2） 等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力max都相等，且等于许用应力。4举例Example 图示受集中力作用的简支梁，若设计成等强度梁，截面为矩形。设h=const，而b=b(x)Solution（1） 即：（2）讨论b(x)为x一次函数，直线变化 当当x=0时，b=0。这显然不能满足剪切条件。必须根据截面上中性轴处的最大切应力来论最小的宽度bmin。根据即：故：（3）叠板弹簧梁的构成将厚度为h的钢，切割成bmin的钢板条，当然钢板条长度不同叠起来，构成叠板梁如图示。（4）鱼腹梁的设计设：即：又： 故： 鱼腹梁形成。
