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1、论文分类号O174.14密 级：无吉林师范大学博达学院毕业论文（设计） 整系数多项式的有理根的定理及求解方法 系别 & 专业： 数学系-数学与应用数学专业 姓名 & 学号： 刘玉丽 0934118 年级 & 班别： 2009级1班 教师 & 职称： 张洪刚 2012年 9月 1日摘 要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识。本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋友提供一定的参考。本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法。求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式是否存在有理根。若存
2、在，则可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理根求出。为了简化求解过程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多项式的全部有理根。关键词：整系数多项式； 有理根的求法； 有理根的判定Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is a
3、bout solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make
4、sure integral coefficients polynomial f(x) has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the
5、 extent. And then we can testify them and get all the rational roots.Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots第一章 整系数多项式的基本内容【1】本节给出了整系数多项式的基本定理-高斯(Gauss)引理。定义11如果一个多项式，其所有系数都是整数，就称此多项式为整系数多项式。定义2 如果一个非零的整系数多项式 的系数没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个
6、本原多项式。 下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。定理1.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。证明 设是两个本原多项式，而是它们的乘积.我们用反证法.如果不是本原的，也就是说，的系数有一异于的公因子，那么就有一个素数能整除的每一个系数.因为的本原的，所以不能同时整除的每一个系数.令是第一个不能被整除的系数，即.同样地，也是本原的，令是第一个不能被整除的系数，即我们来看的系数，由乘积定义由上面的假设，整除等式左端的，整除右端.这是不可能的.这就证明了，一定也是本原多项式.由此我们可以得到下面的定理及推论定理1.2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的
7、有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论1.2.1 设，是整系数多项式，且是本原的.如果=，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的.第二章 整系数多项式有理根的重要定理 在高等代数中，关于整系数有理根的问题，有如下定理：定理2.11设是一个整系数多项式,而是的一个有理根,其中r,s互素,那么必有.特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子。证明：因为是的一个有理根,因此在有理数领域上，从而,因为r,s互素，所以是一个本原多项式.根据上述推论1.2.1，式中都是整数.令，比较两边系数，即得因此 。将代入上式得, 由定理2.1的证明过程可得如
8、下定理： 定理2.2 若是一个次数大于的整系数多项式,如果是的一个有理根,其中是互素的整数,那么定理2.3 若为整系数多项式的整数根,则为常数项的约数,且对于.证明：因为q是整系数多项式的整数根,所以,其中是整系数多项式.,则有.又,故,所以.当时, .因为是常数项,故为常数项的约数,所以.定理2.4 若整系数多项式的常数项为奇数,而为偶数,则不是的有理根.证明：（反证法）设是的有理根,则,其中是整系数多项式,于是有设,令,则有又因为是奇数, 是偶数.在上式中,等号左边是奇数,等号右边是偶数,矛盾.故假设不成立.所以不是的有理根. 定理2.5（关于整根的牛顿法）【2】 如果d是整系数方程（）的
9、整根,那么能够整除, ,并且.反之,如果,那么是的根.由以上定理可得下面推论：推论 整系数多项式,当(互素)是有理数时,若,则是的根. 证明：因为,在上式两边同时乘以,则有即 . 所以是的根.第三章 整系数多项式有理根的求法 3.1 整系数多项式有理根的判定7存在性的判定通常可以用常数项的所有因数逐个地代入多项式去验证,但当常数项较大,因数较多,多项式的次数较高时,计算量之大,没有计算机的帮助是很难实现的. 如果先判别多项式的不可约,或者将多项式分解成几个多项式的积后再作判断. 这在理论上是可行的,但实际要将一个多项式分解因式时却不是一件容易的事情. 所以,研究整系数多项式有理根的存在性问题,
10、明智的选择还是从系数开始。整系数多项式无有理根的判别法：定理3.1.11(Eisenstein判别法)：设是一个整系数多项式。如果有一个素数，使得1、；2、；3、.那么在有理数域上是不可约的.证明 如果在有理数域上可约，那么由定理2.2，可以分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积：= .因此 ，因为，所以能整除或.但是，所以不能同时整除及.因此不妨假定但.另一方面，因为，所以.假设中第一个不能被整除的是.比较中的系数，得等式.式中都能被整除，所以也必须能被整除.但是是一个素数，所以与中至少有一个被整除.这是一个矛盾.定理3.1.2【3】设是一个整系数多项式，若能找到一个素数和整数,使得 (1)
11、 (2) ,但；(3) (i)当时，。且；(ii)当时，其中为正整数， (注：当时 ，与(i)相同) ，那么 ，多项式无有理根 。 证明： (i)当时，假设多项式存在有理根，则在有理数域上从而。因为互素，所以是一个本原多项式，根据推论由，依次类推，即得，所以。1.2.1知式中都是整数，比较两边系数，即得 （） 因为是素数，且，由（）知 ，所以 或 ，同时，因为，所以 且 。 如果，那么由 ，及 ()中，所以 。即，故。又因为及 ，所以，即。又因为及 ,所以,即 ,所以,故。与矛盾。必有，则。由于 及由 ()式中 ，所以 ，但，必有 。 由()式依次类推知。 由及，得。又由前面所述知且，为素数。
12、矛盾！故无有理根。 (ii)当是正整数且时， (因为的情况为上述所证明)。此时，在中，令，得 令由定理的条件显然知，的系数均为整数 因为，是正整数，且由定理3.1.2的 (1) (2)知 ，但又由定理3.1.2中 (3) (ii)知，其中， 及 ，同时由(i)证明知无有理根， 故无有理根。 3.2 整系数多项式有理根的求法定理3.2.1【5】设既约分数，多项式除整系数多项式 所得的商式为 余式为常数，多项式除多项式所得的商式为，则()为的一个根的充要条件为的各系数都能被整除，并且； () 为的一个根的充要条件是为的一个根；()当为的一个根时，证明 () 充分性是很明显的.下面证必要性.因是多项
13、式的一个根，故存在整系数多项式使 从而这时，的各系数均能被整除()充分性：若为的一个根，则在上式两边同乘以，有故为的一个根.必要性：显然类似可证.() 若为的一个根，则，即 于是，在上式两边同除以得， ，从而有多项式恒等定理， 故多项式除多项式所得的商式为 证毕.由以上定理及相关推论得求整系数多项式有理根的方法：第一步：判定是否存在有理根；第二步：若有，求出和的所有因数；第三步：用的因数做分母,因数做分子,列出所有可能的既约分数；第四步：先判断出是否为的根,再对第二步求出的既约分数进行检验,如果与都是整数,那么的根可能是含有这个；如果两数不全为整数,那么的根一定没有这个；第五步：检验第三步选出来的既约分数可能会是的根,用除（可用综合除法）,如果除得余数为零,那么是的根；反之,不是的根.3.3 应用举例 我们用以下例子简要说明上述方法的应用。例1【3】判断多项式是否存在有理根.解：先分析系数的情况： ， ， ，取，有但。由定理3.1.2知无有理根。例2 求整系数多项式的全部有理根【6】.解：,的因数是；的因数是.于是可能的有理根是,.第一步：经计算,所以不是的有理根.第二步：因为,所以不是的有理根.第三步：因为不是整数，所以2不是的有理根.第四步：因为时，所以不是的有理根. 这样，经过上述四步，可能的有理根只可能是，下面用综合除法来检验： 这说明是的根.同理可知：是的根经综合
