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1、第9章 图像的变换域处理及应用本章要点： 图像的正交变换 频域低通滤波 频域高通滤波9.1 概述数字图像处理的方法很多，根据它们处理数字图像时所用系统，主要可以归纳为两大类：空间域处理法（空域法）及频域法（或称为变换域法）。前面几章所介绍的几何变换，图像的增强、边缘检测等所用算法都是在空间域中进行图像处理的，本章将着重介绍数字图像处理中一些常见的频域处理方法。数字图像处理经常要用到线性系统，在图像处理中使用空间作为参数来描述，通常用二维系统进行表示，输入函数f(x,y)表示原始图像，输出函数g(x,y)表示经处理后的图像，线性系统可看作是输入函数和输出函数之间的一种映射，反映了各种线性的图像处
2、理方法。关系如同公式：g(x,y)=f(x,y) (9-1)一般数字图像处理的计算方法本质上都是线性的，处理后的输出图像阵列就是输入图像阵列中的各个元素经加权线性组合而得到，通常这种线性空间线性处理要比非线性处理容易理解并且算法简单。线性系统可用传递函数来刻画，将其看作黑箱（Black Box），线性系统的输入信号和输出信号之间的关系，在时域可用卷积运算来表达，在频域可直接用乘积来确定：传递函数(冲击响应)h(t)H(s) x(t) y(t)X(s)Y(s)输入信号 输出信号时域关系：y(t)=h(t)*x(t)=x()h(t-) d (9-2)频域关系：Y(s)=H(s)X(s) (9-3)
3、在图像处理中，图像的锐化与平滑处理可采用空间域处理方式（又称空间滤波）和频域处理方式（又称频域变换）两类。从数学角度看，空间滤波是采用微分、积分、多项式运算、坐标变换等方法对图像进行某种形式的处埋，具有方法直观，制作简便等优点；但当要处理较大的数字图像数据时，由于图像阵列很大，如果没有发现比较高效的算法，计算上会变得很繁琐，存在着滤波的广度和构成方式的模糊，计算时间长，预测性差等缺点，这样就会降低其在现实工作中的实用价值。同样情况下如果采用图像变换的方法，如傅里立叶算法、沃尔夫算法等间接处理技术，就可以获得更为有效的处理方法。所谓的图像频谱变换则是将图像从空间域进行付里叶变换于频谱域，检测和研
4、究图像频谱特性，并进行滤波处理，最终将处理的频谱经傅里叶逆变换恢复图像于空间域。如下图所示。其优点是处理速度快，构成方式清晰，滤波广度大，预测性好，但数学过程复杂，不易理解。f（x,y） F（u,v） H（u,v） G（u,v） g（x,y）付立叶变换滤波付立叶反变换图中，F(u,v)是带噪声的原始图像f(x,y)的付立叶变换，H(u,v)为滤波器的传递函数，经过滤波处理后的G(u,v)=H(u,v)*F(u,v), 再进行付立叶反变换得到增强的图像g(x,y)。当H(u,v)为低通滤波器的传递函数时，经过付立叶反变换会得到去除噪声后的平滑图像g(x,y)。当H(u,v)为高通滤波器的传递函数
5、时，经过付立叶反变换会得边缘增强的图像，衰减图像信号的低频部分能相对增强图像高频部分，从而实现图像锐化的目的。目前，图像变换技术被广泛地运用于图像增强、图像复原、图像压缩、图像特征提取、图像识别以及图像特征提取等领域。本章将重点介绍这些与图像变换相关的算法。9.2 图像的正交变换在将数字图像由空间域变换到频域时，所采用的变换方式一般都是线性正交变换，又称为酉变换。正交变换是信号分析学科中的一个重要部分，它是计算机图像处理的前续课程。多年来，变换理论在图像处理（频域法处理）中起着关键作用。下面我们将介绍使用正交变换的傅立叶变换、离散余弦变换和沃尔什变换。 傅立叶变换基本概念 一维离散傅立叶变换
6、二维离散傅立叶变换 离散余弦变换9.2.1 傅立叶变换基本概念 傅立叶变换是一种经常被使用的正交变换，尤其是在一维信号处理中被广泛使用。在这里我们将介绍它在数字图像处理中的使用方法。1傅立叶的定义傅立叶变换在数学中的定义非常严格，它的定义如下：设为的函数，如果满足下面的狄里赫莱条件：(1) 具有有限个间断点；(2) 具有有限个极值点；(3) 绝对可积。则定义的傅立叶变换公式为： (9-4)它的逆反变换公式为： (9-5)其中为时域变量，为频域变量。由上面的公式可以看出，傅立叶变换结果是一个复数表达式。设的实部为，虚部为，则： (9-6)或者写成指数形式： 其中： (9-7) (9-8)通常把称
7、作的傅立叶幅度谱，为的相位谱。我们可以把傅立叶变换推广到二维情况。如果二维函数满足狄里赫莱条件，那么将可以导出下面的二维傅里叶变换： (9-9) (9-10)同样，二维傅立叶变换的幅度谱和相位谱为： (9-11) (9-12)可以定义： (9-13)通常称为能量谱。2傅立叶变换的性质傅立叶变换具有很多方便运算处理的性质。下面列出二维傅立叶变换的一些重要性质。(1)线性傅立叶变换是一个线性变换，即： (9-14)(2)可分离性一个二维傅立叶变换可以用二次一维傅立叶变换来实现。推导如下： (9-15)(3)平移性傅立叶变换具有平移特性，推导公式如下： (9-16) (9-17)(4)共轭性如果函数
8、的傅立叶变换为,为傅立叶变换的共轭函数，那么： (9-18)(5)尺度变换特性如果函数的傅立叶变换为，和为两个标量，那么： (9-19) (9-20)(6)旋转不变性如果空间域函数旋转角度为，则在变换域中该函数的傅立叶变换函数也将旋转同样的角度。表达式如下： (9-21)公式（919）中，和为极坐标表达式，其中，的傅立叶变换结果为。(7)对称性如果函数的傅立叶变换为，那么： (9-22)(8)能量保持定理能量保持定理也称帕斯维尔(Parseval)定理，该定理的数学描述如下： (9-23) 该公式表明了傅立叶变换前后能量守恒。(9)相关定理如果和为两个二维时域函数，那么可以定义相关运算如下：
9、(9-24)则： (9-25) (9-26)其中为函数的傅立叶变换，为函数的傅立叶变换；为的共轭，为的共轭。(10)卷积定理如果和为两个二维时域函数，那么可以定义卷积运算*如下： (9-27)则： (9-28) (9-29)其中为函数的傅立叶变换，为函数的傅立叶变换。9.2.2 一维离散傅立叶变换1概念连续函数的傅里叶变换是波形分析的有力工具，但是为了使之用于计算机技术，必须将连续变换转变成离散变换，这样就必须引入离散傅里叶变换(DFT,Discrete Fourier Transform)的概念。离散傅立叶变换在数字信号处理和数字图像处理中都得到了十分广泛的应用，它在离散时域和离散频域之间建
10、立了联系。如果直接应用卷积和相关运算在时域中处理，计算量将随着取样点数N的平方而增加，这使计算机的计算量迅速增大，耗时增多，很难达到对数字图像实际处理的要求。因此，一般可采用离散傅立叶变换方法，将输入的数字信号首先进行频域处理，再利用离散时域与离散频域之间的联系，将在离散频域中处理的效果反馈给离散时域，这样就比在时域中直接对数字图像处理变得更加快捷便利，计算量也会大大减少，同时提高数字图像的处理速度，增强算法的实用性。因此，离散傅立叶变换在数字图像处理领域中有很大的使用价值。离散傅立叶变换还有一个明显的优点就是具有快速算法，即快速傅立叶算法(Fast Fourier Transform)，它可
11、以大大减少计算次数，使计算量减少到只是相当于直接使用离散傅立叶变换所用的一小部分。并且，二维离散傅立叶变换很容易从一维的概念推广得到。在数字图像处理中，二维离散傅立叶被广泛的应用于图像增强、复原、编码和分类中。如果为一长度为N的数字序列，则其离散傅里叶正变换定义由下式来表示： (9-30)傅里叶反变换定义由下式来表示： (9-31)其中：=0，1，2N-1如果令，那么上述公式变成： (9-32) (9-33)公式(932)写成矩阵形式为： (9-34)公式(933)写成矩阵形式为： (9-35)2快速傅立叶变换的实现现在，离散傅里叶变换已成为数字信号处理的重要工具，但是它的计算量较大，运算时间
12、长，在某种程度上限制了它的使用。为了解决这一矛盾，引用了快速傅里叶变换的思想。快速傅里叶变换并不是一种新的变换方式，它是离散傅里叶变换的一种算法，这种方法是建立在分析离散傅里叶变换中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，从而在运算中节省了大量的计算时间，达到快速运算的目的。快速傅立叶算法以的组成状况可以分成为2的整数幂的算法；为高复合数的算法；为素数的算法三种情况。这里介绍第一种算法。令 (9-36)一维离散傅立叶变换公式变为 (9-37) 分别为。再令 在此基础上，将分解成为和对应的偶数和奇数两部分，的取值范围由原来的0到改为0到。下面我们按照奇偶来将序列进行划分，设： 因此，离散傅立叶变换可以改写成下面的形式：
