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1、实验四 线性系统的根轨迹一、实验目的1. 熟悉 MATLAB 用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。2. 利用 MATLAB 语句绘制系统的根轨迹。3. 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。4. 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。基础知识及 MATLAB 函数根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在 s 平面上的 变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K。课本中介绍的手工绘制根轨迹 的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图， 并可观测参数变化对特征根位置的影响。假设系统的对象模型可以表示为bsm + b sm-1 +A + b s + bG
2、(s) = KG (s) = K -12m m+10sn + a sn-i +A + b s + a1n-1n系统的闭环特征方程可以写成： 1+KG0(s) =0对每一个K的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K的数值, 则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K的取值下得出的极点位置按照各 个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系 统的根轨迹。1)绘制系统的根轨迹 rlocus()开环增益k的范围自动设定。 开环增益k的范围人工设定。 依据开环零极点绘制根轨迹。 不作图，返回闭环根矩阵。不作图，返回闭环根矩阵r和对应的开环增益MATLAB 中绘制根
3、轨迹的函数调用格式为rlocus(num,den)rlocus(num,den,k)rlocus(p,z) r=rlocus(num,den) r,k=rlocus(num,den)向量 k。其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s的 降幂排列。 K 为根轨迹增益，可设定增益范围。例3-1：已知系统的开环传递函数G(s)(s +1)s 3 + 4s 2 + 2s + 9，绘制系统的根num=1 1; den=1 4 2 9; rlocus (num,den) grid%定义分子多项式%定义分母多项式 %绘制系统的根轨迹 %画网格标度线xlabel(Real Axi
4、s),ylabel(Imaginary Axis)%给坐标轴加上说明title(Root Locus)则该系统的根轨迹如图 3-1 所示%给图形加上标题名殛7 二:图 3-2 特定增益范围内的根轨迹图形图 3-1 系统的完整根轨迹图形轨迹的 MATLAB 的调用语句如下：若上例要绘制 K 在(1，10)的根轨迹图，则此时的 MATLAB 的调用格式如 下，对应的根轨迹如图3-2 所示。num=1 1;den=1 4 2 9;k=1:10;rlocus (num,den,k)2)确定闭环根位置对应增益值 K 的函数 rlocfind()在 MATLAB 中，提供了 rlocfind 函数获取与特
5、定的复根对应的增益 K 的值。在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K和闭环根r (向量)的值。该函 数的调用格式为：k,r=rlocfind(num,den)执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus (num,den)，作出根轨迹图。执行rlocfind 命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics window” 即要求在根轨迹 图上选定闭环极点。将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图 上出现“ + ”标记，即得到该点的增益K和闭环根r的返回变量值。例3-2:系统的开环传递函数为G(s) = K*s 2 + 5s + 6?s 3 + 8
6、s 2 + 3s + 25试求：1)系统的根轨迹；(2)系统稳定的K的范围；(3)K=1时闭环系统阶跃响应曲线。则此时的 MATLAB 的调用格式为：rlocus (G);k,r=rlocfind(G)G=tf(1,5,6,1,8,3,25);%绘制系统的根轨迹%确定临界稳定时的增益值 k 和对应的极点 r%形成单位负反馈闭环系统%绘制闭环系统的阶跃响应曲线G_c=feedback(G,1);step(G_c)则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2 所示。其中，调用rlocfind ()函数，求出系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值为，故系统稳定的K的范围为K e (0.026
7、4,。(a)根轨迹图形图 3-2 系统的根轨迹和阶跃响应曲线 二、实验内容W15ajE5b)K=1 时的阶跃响应曲线请绘制下面系统的根轨迹曲线Ks( s 2 + 2 s + 2)( s 2 + 6s +13)K (s +12)(s +1)( s 2 +12 s +100)( s +10)K (0.05s +1)s(0.0714 s +1)(0.012 s 2 + 0.1s +1)同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。，程序代码num=0,0,0,0,0,1;%定义分子多项式den=1,8,27,38,26,0;%定义分母多项rlocus(num,den); %绘制系统的根轨迹
8、 grid %画网格标度线 k,r=rlocfind(num,den) xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis) title(Root Locus);12，截屏图Figure： 1dfnlfxk =r = + ; - ; + ; - ;k =r = + ; - ; + ; - ;Tile gdit Vi Insert T ools叮 i Window Help e hfe亀渎彩同原搖凰监iW-E AlT5_QIln_l=_k =r = + ； - ； ； + ； -，分析可知k的范围是%定义分子多项式%定义分母多项 %绘制系统的根轨迹，程序代码num=0
9、,0,0,1,12; den=1,23,121,1220,1000; rlocus(num,den); grid k,r=rlocfind(num,den) xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis); title(Root Locus) ;22，截屏图Root Locus-3E-20-25-2Q-15-1GReal AxisG 5 1Q 1S20oo do3aXY AJISLlalsE-o-3Q，分析可知：k的范围是，程序代码num=0,0,0,1;%定义分子多项式den=,1,0;%定义分母多项rlocus(num,den); grid%绘制系统的根轨
10、迹k,r=rlocfind(num,den) xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis);title(Root Locus) ;32，截屏图1 g7ue |n| X|Eile Eli + Yi ew Ire t： r t Ljols IleEktc-p Iti rulow Help qal G| b 口-1D0Real Axis-20112Br = + - k =r = + - k =r =+ + -k =r = +，分析可知：k的范围是，三，实验体会与总结：通过自动控制原理实验的学习与调试，使我学习和了解了许多知识。 首先是对关自动控制原理相关的知识点有
11、了更深刻的理解，原本课本上不 是很懂得知识点许多都得到了相应的解答；其次是对这门课有了新的认识 和理解，原本不知道学习这门课有什么作用，觉得无聊，不过现在才发现 学习、掌握好这门课不仅可以使我们队信号处理的过程与原理有了根本的 理解和应用，而且可以方便的利用相关知识去理解和解答相关疑难问题； 更重要的事学习和掌握了许多相关 matlab 软件的应用方法和知识，在学习 技能和方法上使得自己有了更高的进步，掌握了又多一门的学习技能和方 法，为以后学习和应用打下了相关的基础知识与根基，相信在以后的学习 和生后中都将受益。不过，我也从中认识到自己在相关知识领域的认识不足和缺陷，不过 通过实验的过程都有所了解和体会，在以后的学习过程中就会多方面去注 意，查漏补缺。综合而言，这门课的实验课给了我一个愉快的，丰厚的过程。感谢这 门课所带给我的巨大作用，同时感谢指导老师耐心细致的开导与指点，此 致敬礼。
