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1、第五章 弯曲内力 5-3 试证明，在集中力F作用处（图a），梁微段的内力满足下列关系：而在矩为Me的集中力偶作用处（图b），则恒有题5-3图证明：根据题图a，由保留有限量，略去微量后，得为了更一般地反映作用处剪力的突变情况（把向下的也包括在内），可将上式改写为仍据题图a，由保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得足标系指梁微段右端面的形心，对题图(b)亦同。根据题图b，由略去微量后，得仍据题图b，由保留有限量，略去一阶和二阶微量后，得为了更一般地反映作用处弯矩的突变情况（把逆钟向的也包括在内），可将上式改写为5-6 已知梁的剪力、弯矩图如图所示，试画梁的外力图。题5-6图解：根据题图中所给的图和图
2、，并依据三个微分关系和两个突变关系，可画梁的外力图，示如图5-6a和b。图5-65-8 图示外伸梁，承受均布载荷q作用。试问当a为何值时梁的最大弯矩值（即）最小。题5-8图解：1.求支反力由对称性可知，二支座的支反力相等（见图5-8a），其值为图5-82画弯矩图根据各梁段的端值及剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系，画弯矩图如图b所示。3确定a值由进一步分析可知，只有当梁中点处的弯矩值、C与处弯矩的绝对值相等时，梁的最大弯矩值才可能最小，由此得解此方程，得舍去增根，最后确定5-9 图示简支梁，梁上小车可沿梁轴移动，二轮对梁之压力均为F。试问：(1) 小车位于何位置时，梁的最大弯矩值最大，并确定该弯
3、矩之值；(2) 小车位于何位置时，梁的最大剪力值最大，并确定该剪力之值。题5-9图解：1.求支反力由图5-9a所示位置，可求得两端的支反力分别为图5-92确定最大弯矩值及小车位置根据支反力及梁上小车压力，画剪力、弯矩图如图b和c所示。由图可以看出最大弯矩必在作用处。求左轮处之，并求其极值，即可得到。(a)由得(b)此即左轮处达最大值的左轮位置。将式(b)代入式(a)，得弯矩的最大值为(c)由对称性可知，当时，右轮处的达到最大，其值同式(c)。3确定最大剪力值及小车位置由剪力图不难判断，最大剪力只可能出现在左段或右段，其剪力方程依次为二者都是的一次函数，容易判断，当或时，即小车无限移近梁的左端或
4、右端时，梁支座内侧截面A+ 或B- 出现最大剪力，其绝对值为5-11 图示各梁，承受分布载荷作用。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。题5-11图(a)解：1.建立剪力、弯矩方程设截面处的载荷集度为，由图5-11(1)可知，图5-11a由图5-11a(2)可得，剪力与弯矩方程分别为2画剪力、弯矩图由式(a)和(b)可知，二者均为简单的幂函数，其函数图依次为二次下凹曲线及三次下凹曲线。算出A与B两端的FS与M值，并考虑到上述曲线形状，即可绘出FS与M图，如图5-11a（3）和（4）所示。 (b)解：由图5-11b(1)可知，半跨梁上分布载荷的合力为于是由平衡方程与，得支反力为图5-11b
5、为研究方便，选取图5-11b(2)所示左半跨梁AC为研究对象。显然，截面C的剪力与弯矩分别为还可以看出，横截面x1的载荷集度为于是得AC段的剪力与弯矩方程分别为(a)(b)同理，以右半跨梁CB段为研究对象图5-11b(3),得相应剪力与弯矩方程分别为根据上述方程，画梁的剪力与弯矩图分别如图5-11b(4)与(5)所示。为了确定弯矩极值及其所在截面的位置，由式(a)并令其为零，即得弯矩极值截面的横坐标为代入式（b），得弯矩极值为 (c)解：1求支反力图5-11c由和得2建立剪力、弯矩方程坐标如图5-11c(1)所示，由截面法可得剪力、弯矩方程分别为3画剪力、弯矩图依据式（e）与(f)可绘剪力图，
6、如图5-11c(2)所示；依据式(g)与(h)可绘弯矩图，如图5-11c(3)所示。注意在处，有极大值，其值为(d)解：1建立剪力、弯矩方程图5-11d坐标如图5-11d(1)所示，由截面法易得剪力、弯矩方程分别为2画剪力、弯矩图依据式(i)与(j)可绘剪力图，如图5-11d(2)所示；依据式(k)与可绘弯矩图，如图5-11d(3)所示。注意在处， 取极值，其绝对值为5-12图示简支梁，承受分布载荷作用，其集度表达式为式中，q0代表载荷集度的最大绝对值。试建立梁的剪力、弯矩方程，并画剪力、弯矩图。题5-12图解：分布载荷的合力为剪力方程为由此得弯矩方程为由此得根据上述方程，画剪力与弯矩图分别如
7、图b与c所示，最大剪力与弯矩分别为5-13 在图示梁上，作用有集度为m= m (x)的分布力偶。试建立力偶矩集度、剪力与弯矩间的微分关系。题5-13图解：在截面处取微段，其受力图如图5-13所示。图5-13根据图示，由得或写成(a)其中为微段右端截面的形心。又由得或写成(b)式(a)和(b)即为本题要求建立的微分关系。5-14 对于图示杆件，试建立载荷集度（轴向载荷集度q或扭力偶矩集度m）与相应内力（轴力或扭矩）间的微分关系。题5-14图解：在横截面处取微段，其受力如图5-14a和b所示。图5-14根据图a，由得或写成(a)根据图b，由得或写成(b)5-15 试绘制图示杆件的内力图，并利用题5
8、-14所述微分关系检查内力图的正确性。题5-15图解：题(a)的轴力图与题(b)的扭矩图，分别如图5-15a与b所示，最大轴力与最大扭矩分别为图5-15 5-16 图示杆件，承受平行于杆轴方向的均布载荷q作用。试画杆的内力图，并利用相应载荷与内力间的微分关系检查内力图的正确性。题5-16图(a)解:坐标自左端向右取，内力，其图则如图5-16a所示。图5-16a上述受力情况，相当于梁上承受集度为的分布力偶情况，利用微分关系（见题5-13式(a)）。可以检查图的正确性。这里，为正常值，表明图应为上倾斜直线。图5-16a所示确为上倾斜直线，说明所画图正确。(b)解：坐标自左端向右取，剪力、弯矩图及轴
9、力图依次示于图5-16b的(1),(2)和(3)。图5-16b上述受力情况，相当于杆上作用有载荷集度为的均布轴向载荷和集度为的均布力偶。铅垂方向无分布载荷作用，即，利用微分关系检查图，其斜率为0，应为水平直线，这是对的。利用微分关系检查图，左半段为正常数，应为上倾斜直线，对的；右半段为负常数，应为下倾斜直线，且斜率是左边的三倍，也是对的。利用微分关系检查图，斜率为负常数，应为下倾斜直线，所绘图正确。5-17 试画图示刚架的内力图。题5-17图解：内力图示如图5-17。图5-175-18 试画图示刚架的弯矩图。题5-18图解：刚架的弯矩图示如图5-18。图5-185-19图a所示刚架，承受均布轴
10、向载荷q作用，试画刚架的轴力、剪力与弯矩图。AB与BC段的长度均为a。题5-19图解：由整个刚架的平衡方程，求得支座A与C的支反力分别为 将刚架划分为AB与BC两段，并选坐标x1与x2如图a所示。在横截面x1处将刚架切开，并选切开后的左段为研究对象，得同理，在横截面x2处将刚架切开，并选切开后的下段为研究对象，得根据上述方程，画刚架的轴力、剪力与弯矩图分别如图b，c与d所示。5-20 试画图示各曲梁的弯矩图。题5-20图(a)解：由平衡方程得由图5-20a(1)可以看出，曲梁的弯矩方程为弯矩图如图5-20a(2)所示，最大弯矩为图5-20a (b)解：由平衡方程得由图5-20b(1)可以看出，曲梁BC段的弯矩方程为根据上述方程，并考虑到问题的对称性，画曲梁弯矩图如图5-20b(2)所示，最大弯矩为图5-20b18
