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1、专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结1勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a2 b2 c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的 平方和等于斜边的平方2 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，
2、没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：A方法一:4S S正方形efgh S正方形abcd，4 ab (b a) c，化简可证.2方法ba四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 4 ab c2 2ab c22大正方形面积为 S (a b)2 a2 2ab b2所以a2 b2 c2111方法三：S弟形 一(a b) (a b) , S弟形2S ade S abe 2 ab c2，化简得证22 2AC3 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只
3、适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 勾股定理的应用 已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90，则 c . a2 b2 , bc2 a2 , a . c2 b2 知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两
4、小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若 a2 b2 c2，时，以a , b , c为三边的三角形是钝 角三角形；若a2 b2 c2，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a , b , c满足a2 c2 b2，那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形6 .勾股数 能够构成直角三角形的三边
5、长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ; 6,8,10 ; 5,12,13 ; 7,24,25等 用含字母的代数式表示 n组勾股数：2 2n 1,2n,n 1 （ n 2, n 为正整数）；2n 1,2n 2n,2n 2n 1 （ n 为正整数）m2 n2,2mn,m2 n2 （ m n, m , n为正整数）7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使 用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角
6、形中，斜边和直角边各是什么，以便运用 勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求 解.8 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边 的平方比较而得到错误的结论.9 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆 定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 常见图形：
7、题型一：直接考查勾股定理例 1 在 ABC 中， C 90 已知AC 6 , BC 8 求AB的长已知 AB 17, AC 15，求BC的长分析：直接应用勾股定理 a2 b2 c2解： ABA?BC2 10 BC .AB2 AC28题型二：应用勾股定理建立方程例2 .在 ABC 中， ACB 90 , AB 5 cm, BC 3 cm , CD AB 于 D , CD =已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 已知直角三角形的周长为30 cm，斜边长为13 cm，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高
8、的乘积有时可根据 勾股定理列方程求解解： AC . AB2 BC24 , CD AC BC 2.4ABA设两直角边的长分别为 3k , 4k (3k)2 (4k)2 152 , k 3, S 54设两直角边分别为a , b，则 a b 17, a2 b2289，可得 ab 60S 2ab302 cm例3 如图 ABC中， C 90 ,12 , CD 1.5, BD 2.5，求 AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB于E，Q 12， C 90DE CD 1.5在BDE中Q BED 90 ,BE BD2 DE22Q Rt ACD Rt AEDAC AE在 Rt A
9、BC 中， C 90AB2 AC2 BC2， (AE EB)2 AC2 42 AC 3例4. ( 2014?安徽省，第8题4分)如图，Rt ABC中，AB=9, BC=6,Z B=90 将厶ABC折叠，使 A点与BC的中点D重合，折痕为MN ,D.5考点：翻折变换（折叠问题）.分析： 设BN=x,则由折叠的性质可得DN=AN=9- x,根据中点的定义可得 BD=3, 在 RtA ABC中，根据勾股定理可得关于 x的方程，解方程即可求解.解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得 DN=AN=9 - x,/ D是BC的中点， BD=3 ,在 RtA ABC 中，x2+32= (9 - x) 2,解
10、得x=4.故线段BN的长为4.故选：C.点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大.例5已知长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm在边CD上取一点 巳将厶ADE折叠使点 D恰好落在BC边上的点F,求CE的长解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。解：根据题意得 Rt AD專Rt AEF/ AFE=90 , AF=10cm, EF=DE设 CE=xcm,则 DE=EF=CP CE=8- x在Rt ABF中由勾股定理得：aB+bFaf2,即即 82+bF=102, BF=6cm CF=BC- BF=10- 6=
11、4(cm)在Rt ECF中由勾股定理可得：eF=cE+cF,即(8 x) 2=x2+422 64 16x+x =2+16 x=3(cm),即 CE=3 cm题型三：实际问题中应用勾股定理1】旳例6如图，有一只小鸟从小树顶飞到大树顶上，请问它飞行的最短路程是多少米（先画出示意图，然后再 求解）.分析：根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解.解答：解：如图所示，过 D点作DE丄AB，垂足为E/ AB=13 , CD=8又/ BE=CD , DE=BC AE=AB - BE=AB - CD=13 - 8=5在 Rt ADE 中，DE=BC=122 2 2 2 2- AD =AE +DE
12、 =12 +5 =144+25=169 AD=13 （负值舍去）答：小鸟飞行的最短路程为13m .点评：本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.例7如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2, A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁，想到 B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是25 .考点：平面展开-最短路径问题.分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答.解答：解：如图所示，三级台阶平面展开图为长方形，长为20,宽为（2+3） 3,蚂蚁沿台阶面爬行到 B点最短路程是此长方形的对角线长. 设蚂蚁沿台阶面爬
13、行到 B点最短路程为x,由勾股定理得：x2=202+ （2+3） 3 2=252, 解得：x=25 .故答案为25.点评：本题考查了平面展开-最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.例8只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm.考点：平面展开-最短路径问题.分析：要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.解答：解：如图：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：(1) 沿 AA A C C B B B 剪开，得图(1) A
14、B 2=AB 2+BB 2= (2+1) 2+42=25;2 2 2 2 2(2) 沿 AC , CCC BB D,D A A A 剪开，得图(2)AB 2=AC 2+B C2=22+(4+1)=4+25=29 ;(3) 沿 AD , DD,B D, C B :C A , AA 剪开，得图(3)AB 2=AD 2+B D2=12+(4+2)2=1+36=37 ;综上所述，最短路径应为(1)所示，所以AB 2=25，即AB =5cm .点评：此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解.例9如图，RtAABC中，AC=5, BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 解：由勾股定理 AB=、.52122 =13,根据题意得：S 阴影=一n ( ) 2+ n ( ) 2- n ( ) 2- X 5 X 12=302 2 2 2 2 2 2例10.等腰直角厶ABC中，BC=AC=1,以斜边 AB和长度为1的边BB为直角边构造直角 ABBi，如图，这 样构造下去，则AB3=； ABn=.J 13解：T等腰直角厶 ABC中，BC=AC=1,.
