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1、遵义四中2015届高三第三次月考数学（理）试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分 考试时间120分钟第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1已知复数，则它的共轭复数等于 ( )（A） （B） （C） （D）2将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )3执行如图所示的程序框图后，输出的值为4，则P的取值范围是 （ ） （A） （B） （C） （D） 4 若“”是“”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）5.
2、下列函数中，既是奇函数又存在极值的是 ( )（A） （B） （C） （D）6.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生那么不同的选派方法共有21cnjy.co m( )（A）14种 （B）28种 （C）32种 （D）48种 7若把函数（）的图象向左平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能是 ( )（A） （B） （C） （D）8.双曲线的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为 ( )（A） （B） （C） （D）9.设，若，则的最大值为 ( )（A） （B）2 （C） （D） 310.已知是周期为的函数，当x（
3、）时，设则 ( )（A）cba （B）bca（C）acb （D）cab11 已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线长为 ( )（A） （B） （C） （D）12. 已知函数，把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的前n项的和,则 ( )（A） （B） （C）55 （D）45第II卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13若实数、满足 且的最小值为3，则实数= 14的展开式中一次项的系数为,则的系数为 15在RtABC中，若C90，ACb，BCa，则ABC的外接圆半径r，将此结论类比到空间有_ 16给出以下四个命题：若函数的
4、图象关于点对称，则的值为；若，则函数是以4为周期的周期函数；在数列中，是其前项和，且满足，则数列是等比数列； 函数的最小值为2则正确命题的序号是 。 三、解答题（本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知数列（I）求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；（II）令， 求数列的前项和.18. （本小题满分12分）底面为一个矩形，其中，。顶部线段平面，棱， ， 二面角的余弦值为，设是的中点， （I） 证明：平面；（II）求平面BEF和平面CEF所成锐二面角的余弦值.19 （本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生
5、的笔试成绩，按成绩共分五组，得到频率分布表如下表所示。（I）请求出位置相应的数字，填在答题卡相应位置上，并补全频率分布直方图；（II）为了能选出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12人进入第二轮面试，求第3、4、5组中每组各抽取多少人进入第二轮的面试；假定考生“XXX”笔试成绩为178分，但不幸没入选这100人中，那这样的筛选方法对该生而言公平吗？为什么？（III）在（II）的前提下，学校决定在12人中随机抽取3人接受“王教授”的面试，设第4组中被抽取参加“王教授”面试的人数为，求的分布列和数学期望20. （本小题满分12分）已知垂直平分线与交于Q点.（I
6、）求Q点的轨迹方程；（II）已知点 A（-2,0）， 过点且斜率为（）的直线与Q点的轨迹相交于两点，直线，分别交直线于点,，线段的中点为，记直线的斜率为.求证:为定值.21. （本小题满分12分） 已知函数. （I）若曲线在处的切线为，求的值；（II）设，证明：当时，的图象始终在的图象的下方；（III）当时，设，（为自然对数的底数），表示导函数，求证：对于曲线上的不同两点，存在唯一的，使直线的斜率等于 请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲切线与圆切于点，圆内有
7、一点满足，的平分线交圆于，延长交圆于，延长交圆于，连接（）证明：/； （）求证：23.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标为（1，5），点的极坐标为（4，），若直线过点，且倾斜角为，圆以为圆心，4为半径.（）求直线的参数方程和圆的极坐标方程；（II）试判定直线与圆的位置关系.24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知（）解不等式； （）对于任意的，不等式恒成立，求的取值范围数学（理科）答案一、选择题： 题号123456789101112答案 CDDCDACABCAD二、填空题：139/4； 1439； 15在三棱
8、锥ABCD中，若AB、AC、AD两两互相垂直，且ABa，ACb，ADc，则此三棱锥的外接球半径R 16,三、解答题：17. 18.解析：（1）平面，且平面，又平面平面,(线面平行的性质定理). 又是平行四形两边的中点，,四点共面. 2分,又，且,平面. . 4分(2)在平面内做的垂线，垂足为,则由第 (1)问可知：平面, 则平面ABCD平面,所以平面,又因为， 则二面角的的平面角为.6分在和中， ， 6分过做边的垂线，垂足为,连接,解法一 由作图可知， ,由第（1）问，,是要求二面角的平面角. .9分在中，,，即二面角的余弦值是. .12分解法二 以为坐标原点，以方向为轴正方向建立空间直角坐标
9、系，则由解法一知：，,则,设平面的一个法向量为，则由， .9分同理可求得设平面的一个法向量为:(也可根据对称性求得)， 10分于是有：，根据法向量的方向，设二面角的平面角为，则.12分19（1）由题意知，组频率总和为，故第组频率为，即处的数字为；1分总的频数为，因此第组的频数为，即处数字为 2分频率分布直方图如下：成绩频率分布直方图4分（2）第组共名学生，现抽取人，因此第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人，第组抽取的人数为：人. 7分公平：因为从所有的参加自主考试的考生中随机抽取人，每个人被抽到的概率是相同的. 8分（只写“公平”二字，不写理由，不给分）（3）的可能取值为 的分布列为：
10、12分19. 解：（1）已知的垂直平分线与交于Q点，由于所以，即Q点是以为焦点的椭圆 2分故所求Q点方程为. 3分（1） 设过点（1,0），且斜率为（）的直线方程为，设点，点, 4分将直线方程代入椭圆： ，整理得：， .5分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且. 6分直线的方程为，直线的方程为，令，得点，点，所以点的坐 8分直线的斜率为. 10分将代入上式得，. 所以为定值. 12分21. 解析：(1)，此时，又，所以曲线在点处的切线方程为，由题意得，. 2分（2）则在单调递减，且 当时，即，当时，的图像始终在的图象的下方. 5分 （3） 由题，.，即， 7分设,则是关于的一次函数，故要在区间证明存在唯一性，只需证明在上满足.下面证明之：，为了判断的符号，可以分别将看作自变量得到两个新函数，讨论他们的最值：，将看作自变量求导得，是的增函数，；同理：，将看作自变量求导得，是的增函数，；， 函数在内有零点，.11分 又，函数在是增函数，函数在内有唯一零点
