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1、必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.例2在ABC中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。例4在ABC中，如果，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在ABC中，求证.例6在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证.考察点4：求三角形的面积例7在ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求A
2、BC的面积S.例8已知ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，ABC的外接圆半径为12，且,求ABC的面积S的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C例10在ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及ABC的内切圆半径。易错疑难辨析易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（1） 在ABC中，（2） 在ABC中，易错点 忽略三角
3、形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180等造成的错误。例2在ABC中，若求的取值范围。高考真题评析例1（2010广东高考）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若则例2（2010北京高考）如图1-9所示，在ABC中，若则ABC1图1-9例3（2010湖北高考）在ABC中，则等于（ ） 例4（2010天津高考）在ABC中，（1）求证 ；（2）若，求的值。1.1.2 余弦定理典型题剖析考察点1： 利用余弦定理解三角形例1：已知ABC中，求A，C和。例2：ABC中，已知，求A，B，C考察点2： 利用余弦定理判断三角形的形状例3：在AB
4、C中，已知且，试判断ABC的形状。例4：已知钝角三角形ABC的三边求k的取值范围。考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例5在中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，（1）求证（2）求证例6在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c。（1）求证（2）求证考察点4：正余弦定理的综合应用例7：在中，已知例8：设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（1）求A的大小；（2）求的值。例9：设得到内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求边长a；（2）若的面积S=10，求的周长。易错疑难解析易错点 利用余弦定理判断三角形的形状时出现漏解情况【易错点辨析】在等式两边同时约去一个因式时，需要
5、十分小心，当该因式恒正或恒负时可以约去，一定要避免约去可能为零的因式而导致漏解。例1：在中，已知试判断的形状易错点 易忽略题中的隐含条件而导致错误【易错点辨析】我们在解题时要善于应用题目中的条件，特别是隐含条件，全面、细致地分析问题，如下列题中的ba就是一个重要条件。例2：在中，已知求。高考真题评析例1：（2011.山东模拟）在中，D为BC边上一点，若则例2：（2010.天津高考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若则A等于（ ）A30 B.60 C.120 D.150例3：（2010.北京高考）某班设计了一个八边形的班徽（如图1-14所示），它由腰长为1，顶角为a的四个等腰三角形，
6、及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A. B.C. D. 例4：（2010.安徽高考）设是锐角三角形，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，且。（1）求角A的值；（2）若，求b，c（其中bc）例5：（陕西高考）如图1-15所示，在中，已知B=45，D是BC边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长。图1-15例6：（2010.江苏高考）在锐角中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若求的值。必修五解三角形常考题型1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.【点拨
7、】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。解：【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC中，已知c=+，C=30，求a+b的取值范围。【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：C=30，c=+，由正弦定理得： a=2(+)sinA,b=2(+)sinB=2(+)sin（150-A）.a+b=2(+)sinA+sin(150-A)= 2(+)2sin75cos(75-A)= cos(75-A) 当75-A=0，即A=75时，a+b
8、取得最大值=8+4； A=180-(C+B)=150-B,A150，0A150,-7575-A75，cos75cos(75-A)1， cos75=+.综合可得a+b的取值范围为(+,8+4考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在ABC中，tanB=tanA，判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：,即，.为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在ABC中，由得A=B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“A=B或A+B=”的导出过程。例4在ABC中，如果，并且B为锐角，试判断
9、此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状。解：.又B为锐角，B=45.由由正弦定理，得,代入上式得：考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式例5在ABC中，求证.【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将转化为.证明：由正弦定理的变式得：同理【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：【解题策略】有关三角形
10、的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。考察点4：求三角形的面积例7在ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，若,求ABC的面积S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA 及边c，再求面积。解：由题意，得B为锐角，由正弦定理得【解题策略】在ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用， 例8已知ABC中a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边，ABC的外接圆半径为12，且,求ABC的面积S的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的综合应用。解：【解题策略】把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面
11、积的最大值。考察点5：与正弦定理有关的综合问题例9已知ABC的内角A,B极其对边a,b满足求内角C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法1：（R为ABC的外接圆半径），又A,B为三角形的内角，当时，由已知得综上可知，内角.解法2：由及正弦定理得，从而即又0A+B，【解题策略】切化弦、边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例10在ABC中，A，B，C所对的边分别为a,b,c,且c=10,，求a,b及ABC的内切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解：变形为又ABC是直角三
12、角形。由解得【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。-易错疑难辨析易错点 利用正弦定理解题时，出现漏解或增解【易错点辨析】本节知识在理解与运用中常出现的错误有：（1）已知两边和其中一边的对角，利用正弦定理求另一边的对角时，出现漏解或增解；（2）在判断三角形的形状时，出现漏解的情况。例1（3） 在ABC中，（4） 在ABC中，【错解】（1） 由正弦定理得（2） 由正弦定理得【点拨】（1）漏解，由（0B180）可得因为ba,所以两解都存在。（2）增解。由（0B180）可得，因为ba,根据三角形中大边对大角可知BA,所以不符合条件，应舍去。【正解】（1）由正弦定理得又0B180（经检验都符合题意）（2）由正弦定理得又0B180ba,根据三角形中大边对大角可知BA，不符合条件，应舍去，。易错点 忽略三角形本身的隐含条件致错【易错点解析】解题过程中，忽略三角形本身的隐含条件，如内角和为180等造成的错误。例2在ABC中，若求的取值范围。【错解】由正弦定理得【点拨】在上述解题过程中，得到了后，忽略了三角形的内角和定理及隐含的均为正角这一条件。【正解】由正弦定理可知0B45，1.13，故13.高考真题评析例1（2010广东高考）已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，若则【命题立意】本题主要考察正弦定理和
