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1、第五章矩阵的特征值1.矩阵的特征值和特征向量一、矩阵的特征值的定义定义1：设为n阶矩阵，是一个数，如果存在非零n维向量，使得：，则称是矩阵的一个特征值，非零向量为矩阵的属于（或对应于）特征值的特征向量。下面讨论一般方阵特征值和它所对应特征向量的计算方法。设是n阶矩阵，如果是的特征值，是的属于的特征向量，则因为是非零向量，这说明是齐次线性方程组的非零解，而齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式等于零，即0而属于的特征向量就是齐次线性方程组的非零解。定理1：设是n阶矩阵，则是的特征值，是的属于的特征向量的充分必要条件是是0的根，是齐次线性方程组的非零解。定义2：称矩阵称为的特征矩
2、阵，它的行列式称为的特征多项式，0称为的特征方程，其根为矩阵的特征值。由定理1可归纳出求矩阵的特征值及特征向量的步骤：（1）计算；（2）求0的全部根，它们就是的全部特征值；（3）对于矩阵的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系：，其中为矩阵的秩；则矩阵的属于的全部特征向量为：其中为不全为零的常数。例1 求的特征值及对应的特征向量。解：令0得：当时，解齐次线性方程组即：可知，取为自由未知量，对应的方程为求得一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为，其中为不全为零的常数。当时，解齐次线性方程组，取为自由未知量，对应的方程组为求得它的一个基础解系为，所以的属于特征值-2的全部特征向
3、量为，其中是不为零的常数。例2 求的特征值及对应的特征向量。解：令0，解得：。对于，解齐次线性方程组，的秩为2，取为自由未知量，对应的方程组为，求得它的一个基础解系为，所以的属于特征值0的全部的特征向量为，其中K为不为零的常数。例3 求的特征值及对应的特征向量。解：令0解得：当时，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为，所以A的属于特征值-1的全部特征向量为，其中是不为零的常数。当时，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为，其中是不为零的常数。当时，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为，所以的属于特征值1的全部特征向量为
4、，其中是不为零的常数。例4 已知矩阵有一个特征向量，求的值。解：由已知有：得：，所以有：练习：（1）求矩阵的特征值及相应的特征向量。解：的特征向量为；的特征向量为（不全为零）。（2）已知矩阵有一个特征向量，试求及所对应的特征值。解：设是特征向量所对应的特征值，由定义得：解得：，。二、特征值、特征向量的基本性质（1）如果是的属于特征值的特征向量，则一定是非零向量，且对于任意非零常数K，K也是的属于特征值的特征向量。（2）如果是的属于特征值的特征向量,则当时，也是的属于特征值的特征向量。证：）（3）n阶矩阵A与它的转置矩阵有相同的特征值。证：注：同一特征值的特征向量不一定相同；的特征矩阵不一定相同
5、。（4）设，则（a）（b）推论：A可逆的充分必要条件是A的所有特征值都不为零。即。定义3：设，把A的主对角线元素之和称为A的迹，记作，即：。由此性质（）可记为(5）设是A的特征值，且是A属于的特征向量，则（a）是的特征值，并有（）（）（b）是的特征值，（c）若A可逆，则且是的特征值，。证：因为是A属于的特征值，有，（a）两边同乘得：，则是的特征值。（b），则是的特征值，（c）因为A可逆，所以它所有的特征值都不为零，由，得：，即：再由，两边同除以得：，所以且是的特征值。例1 已知三阶方阵A，有一特征值是3，且，求A的所有特征值。解：设A的特征值为3，由上述性质得：66由此得：例2 已知三阶方阵A
6、的三个特征值是1，-2，3，求（1），（2）的特征值，（3）的特征值，（4）的特征值。解：（1）1-6（2）的特征值：1，；（3）的特征值：1，2，3；（4）-6，则的特征值为：-6即为：-6，3，-2。例3 已知矩阵，且向量是逆矩阵的特征向量，试求常数。解：设是对于的特征值，所以，即得：或例4 设A为n阶方阵，证明的充要条件是0为矩阵A的一个特征值。证明：0为矩阵A的一个特征值例5 若，则A的特征值只有是零。证明：设是矩阵A的任一特征值，是对应的特征向量，则，而，所以练习：已知矩阵有特征值（二重），试确定之值。解：因为矩阵的全部特征值之和等于其主对角线上元素之和，故有：，解得：2.相似矩阵一
7、、相似矩阵的定义定义1：设A、B为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得成立，则称矩阵A与B相似，记作。例1 已知，则，且 所以。例2 如果n阶矩阵A与n阶单位矩阵I相似，则AI。解：因为，所以一定存在可逆阵P使成立，由此得 。二、相似矩阵的性质相似矩阵具有下述性质：（1） 反身性：对任意n阶方阵A，都有。（）（2） 对称性：若，则。（因）（3） 传递性：若，。则。由，。（4） 若n阶矩阵A、B相似，则它们具有相同的特征值。证明：由已知得：。注：相似矩阵对于同一特征值不一定有相同的特征向量。（5） 若n阶矩阵A、B相似，则它们具有相同的行列式。证：因为A与B相似，所以 两边求行列式得：即得：推
8、论：相似矩阵具有相同的可逆性。（6） 若n阶矩阵A、B相似，则它们具有相同的迹。（7） 若n阶矩阵A、B相似，则它们具有相同的秩。（8） 若n阶矩阵A、B相似，即。则（k为任意非负整数）且。证：当k1时，成立，（矩阵A、B相似）假设km时成立，即有现证k=m+1时也成立，则k=m+1时也成立。例1 已知n阶方阵A、B相似，求，。解：因为，所以有，又因；则得。例2 若A相似，求的值。解：因为，所以 ，由此得，又由于，所以，得解得：例3 如果矩阵A可逆，试证AB与BA的特征值相同。证：因为A可逆，所以即AB与BA相似，由性质（4）得AB与BA的特征值相同。三、方阵对角化定义2：若方阵A可以和某个对
9、角矩阵相似，则称矩阵A可对角化。定理1：设为n阶矩阵A的不同特征值。分别是属于的特征向量，则线性无关。定理2：n阶矩阵A相似于对角阵的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。从定理2可知：只要能求出A的n个线性无关的特征向量，令P=()就能使，其中矩阵，对角阵的主对角元素依次为所对应的特征值。推论：若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则矩阵A一定可对角化。定理3：设是n阶矩阵A的特征多项式的k重根，则A的属于特征值的线性无关的特征向量个数最多有k个。定理4：设n阶矩阵A有m个不同特征值。设是矩阵A的属于的线性无关的特征向量，则向量组，线性无关。定理5：n阶矩阵A与对角阵相似的充分必要条件是对每一
10、个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数，即对每一个重特征值， ()X=0的基础解系含有个向量。()例1 已知，问矩阵A可否对角化？若可对角化求出可逆阵P及对角阵。解：解得：，由推论可得矩阵A可对角化。当时，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为：当，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为：当时，取为自由未知量，对应的方程组为，解得一个基础解系为：则可逆阵为，对应的对角阵。例2 已知，问矩阵A可否对角化？若可对角化求出可逆阵P及对角阵。解：，令0得：当时， 取为自由未知量，对应的方程为，求得一个基础解系为，对于时，取为自由未知量，对应的方程组为，求得它
11、的一个基础解系为。则由定理5可得矩阵A可对角化。即存在可逆阵，相应的对角阵。例3 已知，问矩阵A可否对角化？若可对角化求出可逆阵P及对角阵。解：所以矩阵A的特征值为。当时，取为自由未知量，对应的方程组为，求得它的一个基础解系为。当时，取为自由未知量，对应的方程组为，求得它的一个基础解系为。因为A只有2个线性无关的特征向量，而，所以矩阵A不能对角化。注意对重根一般有：。由性质（8）知：当n阶矩阵A、B相似，即时，有，（k为任意非负整数），且。由此可得：，如果B是对角阵，则。例4 已知，试计算。解：令0得：当时，取为自由未知量，对应的方程为，求得一个基础解系为，当时，取为自由未知量，对应的方程组为
12、，求得它的一个基础解系为。所以可逆阵为，相应的对角阵。从而 例5 已知，求。解：解得A的特征值为，当时，解线性方程组，解得一个基础解系当时，解线性方程组，解得一个基础解系所以可逆阵，相应的对角阵。从而 例6 设3阶矩阵A的特征值为3，对应的特征向量依次为：。求解：，其中例7 设方阵相似，求之值；并求可逆阵P，使。解：因为A与B相似，有，又有：。A的特征值分别是：；而对应的特征向量为：，对应的特征向量为： ，对应的特征向量为：，所以。3. 实对称阵的对角化定理1：实对称矩阵的特征值都是实数。定理2：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。我们还可以证明：如果实对称矩阵A的特征值的重数是k，
13、则恰好有k个属于特征值的线性无关的特征向量。如果利用施密特正交化方法把这k个向量正交化，它们仍是矩阵A的属于特征值的特征向量。定理3：设A为n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Q，使为对角阵。假设A有m个不同特征值，其重数分别为，。由上述说明可知，对同一特征值，相应有个正交的特征向量；而不同特征值对应的特征向量也是正交的，因此A一定有n个正交的特征向量，再将这n个正交的特征向量单位化，记其为，显然这是一个标准正交向量组，令，则Q为正交矩阵，且为对角阵。总结实对称阵对角化的步骤如下：1） 求全部不同的根，它们是A的全部不同的特征值；2） 对于每个特征值（重根），求齐次线性方程组的一个基础解系：，利
14、用施密特正交化方法将其正交化，再将其单位化得：；3） 在第二步中对每个特征值得到一组标准正交向量组组合为一个向量组：共有个。它们是n个向量组成的标准正交向量组。以其为列向量组的矩阵Q就是所求正交矩阵。4），其主对角线元素依次为：例1 求正交矩阵Q，使为对角阵，其中。解：得A的特征值为：分别求出属于的线性无关的向量为：，则是正交的，再将单位化，得：，。令，则 例2 求正交矩阵，使为对角阵，其中。解：得矩阵的特征值为：。求出属于的特征向量为，属于的特征向量为，,利用施密特正交化方法将正交化得：，所以相互正交，再将其单位化得：，令，则。练习：将对角化。解：时，时，例3 设3阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3；矩阵A的属于特征值1，2的特征向量分别为，。（1）求A的属于3的特征向量；（2）求矩阵A。解：（1）设A的属于3的特征向量为，因为是实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量，所以两两正交，故有：即得一线性方程组：，解得非零解为，则A的属于3的特征向量为（为非零常数）。（2） 将单位化得：， 令 则有；故练习：若三阶实对称阵A的特征值是-9（二重）和9，且A的属于-9的全部特征向量为
