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1、1.6 若干特殊矩阵一、 对称矩阵与反对称矩阵定义 设A是n阶方阵。若，则称A是对称矩阵；若，则称A是反对称矩阵。例 设A是任一n阶方阵，则是对称矩阵，是反对称矩阵。例 设A是任一方阵，则A可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和。例 设A与B是两个n阶对称矩阵，I是n阶单位矩阵。证明：若A与均可逆，则也是对称矩阵。证明 只需证 。 二、对角矩阵定义 下列主对角线以外的元素全为零的n阶方阵称为对角矩阵。对角矩阵通常简记为 或 当 时 ，我们称之为数量矩阵。若k = 1，则数量矩阵即是单位矩阵。例 对角矩阵的秩等于其非零主对角元的个数。例 对角矩阵的和、差、积也是对角矩阵。例 对角矩阵A = 可
2、逆的充分必要条件是全不为零。当A可逆是， 。定义 设A 是分块矩阵A=,若子块全是方阵，则称A是准对角矩阵，简记为。例 设A是准对角矩阵则A可逆的充分必要条件是子块均可逆。当A可逆时，三、三角矩阵定义 设A与B是两个n阶方阵则称A是上三角矩阵，B是下三角矩阵。例 三角矩阵可逆的充分必要条件是其主对角元全不为零。小结：1.熟练掌握矩阵的基本运算与性质加法、数乘、乘法、幂、转置 2.熟练掌握初等行变换化阶梯形 3.熟练掌握方阵可逆的有关结论可逆性的判别、逆矩阵的计算、解矩阵方程 4.熟练掌握Gauss消元法 解的判别、求解例 解矩阵方程的初等变换法： （1）已知已知矩阵方程 AX=B，其中A可逆。
3、 （A，B）（I，AB）=（I，X） （2）已知已知矩阵方程 XA=B，其中A可逆。 例 已知矩阵与矩阵B 。满足 AX=B，求X。解 （法一）由前例已得 ，故 。（法二） （A，B）= ，由此得X。例 已知结论“若方阵A满足 且，则A不可逆”的下述两种证明，请指出哪个方法正确。对不正确的方法，请举例说明其问题所在：（法一）因为，故.因为，故 。于是由得，A=O。因此A不可逆。（法二）反证：若A可逆，则由 得，即 。与已知条件矛盾。因此A不可逆。例 可逆的上（下）三角矩阵的逆矩阵也是上（下）三角矩阵。证明 对上三角矩阵的阶数作归纳法 ：设 可逆，则容易得到 ，故结论对2阶上三角矩阵成立。：设结
4、论对阶上三角矩阵成立。：证明结论对阶上三角矩阵成立。 设若可逆，则 均不为零，而也是上三角阵，故可逆。设是的逆矩阵，根据，对的分块 ，其中是阶方阵。因 由此得因是阶可逆上三角矩阵，故由归纳法假设可得：的逆矩阵也是上三角矩阵。又可逆，故，又可得。于是 也是上三角矩阵。例 设A=是n阶方阵。若下列方阵， （称为A的顺序主子阵）均满秩，则A可表示成A = LU 其中L是主对角元全为1的n阶下三角矩阵，U是n阶可逆上三角矩阵。上式称为A的三角分解。对线性方程组若系数矩阵A存在三角分解A = LU，则上述方程组的求解可转化为解下述两个阶梯形方程组对只需前代、对只需回代即可分别求解。例 某林场计划种植供圣
5、诞节用的小松树。这些松树按照高度在市场上以不同的价格出售。为此，可把它们根据不同的高度段分成若干类，如下表：类售价高度段1（树苗）无2n林场管理者需面对两个问题： (1)经营活动（企业生产）的可持续性；(2)在可持续性的前提下，每年获得最大收益。讨论：(1) 为满足此条件，要求： 每次只能采伐部分树木； 每次采伐后，应及时补种数目相同的树苗； 补种后，树林的结构与生长期之前相同令表示生长期开始时，第类中树的棵数，称 为非采伐向量。 显然，是树林中树木的总量，它由树木的品种及林场面积所确定。而即为保持可持续生产所应维持不变的树林结构。令表示第类树中在一个生长期内上升到第类中的比值，称为生长矩阵。
6、这里由树木的品种、当地气候与土壤条件、以及林木维护等因素所确定。因故表示了经过一个生长期后，在采伐前树林的结构。令表示在一次采伐中，从第类中砍取的树木棵数，称 为采伐向量。显然，表示在一次采伐中砍取的树木总量。令，则 表示在一次采伐后应补种的树木的结构。于是，可持续生产的要求可表示为 ，即 又 故由得 又，故由又可得。反之，若一个非负元素的列向量 满足，则由和可确定一个非负元素的列向量，并且 与 满足要求。据此，可确定一个持续的林场经营策略。例 某林场要种植棵杉树。根据市场调查，这类杉树按高度分为类，售价分别为（单位：元）。已知这种杉树的生长矩阵为，由此可得。试确定一种合理的种植与采伐方案，并
7、计算每次采伐所获收益。解 取，则 为非负列向量。易证，即 满足公式且 。于是，确定一个合理的种植与采伐方案，即是非采伐向量。利用，由得易证与满足要求，即是采伐向量。此时，一次采伐的收益为 。(2) 可以证明，上例中确定的方案一定获得最大收益。一般地，一次采伐只砍取某一类中的全部树木，则可获得最大收益。实际上，在安排种植计划时，应使在一个生长周期内，树苗至多上升到该类，然后，再把此类(最高类)中的树木全部采伐完。第二章 线性方程组2.1 向量的线性相关性一 向量的定义及运算定义 由n个数 构成的n元有序数组称为n元向量，记为（），其中称为该向量的第i个分量。定义 设 = (a1, a2, , a
8、s)， = (b1, b2, , bt)。 若s=t且ai=bi (i=1, 2, , s)，则称向量与相等，记为=。注：行向量：（） 列向量：，也可记为 。定义 (1) 设 =（a1, a2, , an）， =（b1, b2, , bn）是两个n元向量，则称下列向量（a1+b1, a2+b2, , an+bn）为向量与的和，记为 + ； （2）设 =（a1, a2, , an）是n元向量，k是数，称下列向量（ka1, ka2, , kan）为数k与向量的数量乘积，记为k。例 设 =（a1, a2, , an）是任一n元向量，则0 =（0, 0, , 0）(-1) =（-a1, -a2, ,
9、-an）我们称分量全为零的向量（0, 0, , 0）为零向量，记为；称向量（-a1, -a2, , -an）为向量的负向量，记为。例 在平面上建立直角坐标系Oxy，设 是上任一条有向线段。把的起点平移到原点O，则其终点坐标(a1, a2)唯一确定。这样，有向线段 唯一对应一个2元向量(a1, a2)。设 是上另一条有向线段，按上述方法对应2元向量（b1, b2）。则按平行四边形法则，有向线段与的和 +对应的2元向量恰为(a1+b1, a2+b2)。性质 设、是任意三个n元向量，k、l是任意两个数，则有(1) + = + (2) ( + ) + = + ( + )(3) + = （ 是n元零向量）(4) + () = (5) 1 = (6) (kl) = k(l)(7) (k + l) = (k + l)(8) k( + ) = k + l二 向量的线性相关性三个基本概念定义 设 是m个n元向量，k1, k2, km是任意m个数，称下列向量是向量组 的一个线性组合。此时，也称向量可由向量组 线性表出。例 一个向量 的线性组合_。 例 向量组 能否线性表出？例 已知向量，问 能否由 线性表出？解 设则有 。由此得 。（存在 使成立 它们使成立。即 可由 线性表出 线性方程组有解。） 经验证，有解，故 可由 线性表出。结论：线性表出 非齐次方程组有解 表示法唯一 解唯一23
