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1、习题参考答案第1章 数理逻辑1.1命题1解（a）()PRQ ()QR()P ()PQ( b)()我去镇上当且仅当我有时间且天不下雪。()我有时间并且去镇上。()如果我去镇上，那么我有时间；如果我有时间，那么我去镇上（或：我去镇上当且仅当我有时间）。()说我有时间或我去镇上是不对的。2解（a）上海并非处处清洁。（b）并非每一个自然数都是偶数。3解（a）逆命题：如果我不去，那么天下雨。逆反命题：如果我去，那么天不下雨。（b）逆命题：如果你去，我将逗留。逆反命题：如果你不去，我将不逗留。（c）逆命题：如果方程无正整数解，那么n是大于2的正整数。逆反命题：如果方程有正整数解，那么n不是大于2的正整数。
2、（d）逆命题：如果我不能完成这个任务，那么我没有获得更多帮助。逆反命题：如果我能完成这个任务，那么我获得了更多帮助。4给P和Q指派真值T，给R和S指派真值F，求出下列命题的真值：（a）PQR(b) PQR(PQ)(RS)(c) (PQ)R)(PQR)S(d) (PQ)R(QP)RS)(e) (PR)(QS)(f) P(QRP)QS解：做出各个命题的真值表，求出真值。（a） TPQRQRPQRTTFFT(b) T(c) T(d) T(e)F (f)T(b) (c) (d) (e) (f) (表略)5解：（a）P QPQQ(PQ)Q(PQ)P 0 0101 0 1110 1 0001 1 1111
3、（b）P Q R QR (PQR) (PQ)(PR) (PQR) (PQ)(PR) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 （c）(略)；（d）(略)。6.证明下列公式的真值与他们的变元值无关：(a)P(PQ)Q(b)(PQ)(PQ)(c)(PQ)(QR)(PR)(d)(PQ) (PQPQ)证明：做出各个命题的真值表，证明公式的真值与他们的变元值无关(a)PQPQP(PQ)P(PQ)Q00101011011000
4、111111(b) (c) (d) (表略)7证明 作真值表：P Q P Q PQ QP （PQ）（QP） 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 由表可知，P Q 在第一，四行上取真值，这时，PQ ，QP也为真；另一方面，在第一，四行上PQ 和QP同时为真，这时P Q也为真。于是本题得证。8对P和Q的所有值，证明PQ与PQ有同样真值。证明(PQ)( PQ)总是真的。证明：做出(PQ)( PQ)的真值表PQPPQPQ(PQ)( PQ)0011110111111000011101119解（a）、 是可交换的。 （b）作出PQ、QP；PQ、Q
5、P；P Q、Q P和PQ、QP的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价（表略）。10设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果（x*y）*z和x*(y*z)逻辑等价，那么运算符*是可结合的。 (a)确定逻辑运算符、那些事可结合的。 (b)用真值表确定你的断言。解：(a) 、是可结合的。(b) 做出（PQ）R、P(QR)；(PQ) R、P(QR)；(PQ) R、P (QR)；(PQ) R、P(QR)的真值表，由表得出前三对公式等价，后一对公式不等价。(表略)11. 解：（b）、（c）不是命题公式，因为它们不能根据命题公式的形成规则而得到。（a）和（d）是命题公式，它们的构造过程如下：（a
6、）P是命题公式 根据条款1Q是命题公式 根据条款1（PQ）是命题公式 根据、条款2（P）是命题公式 根据条款2（P）（PQ）是命题公式 根据、条款2R是命题公式 根据条款1（P（PQ）R）是命题公式 根据、条款2（d）P是命题公式 根据条款1Q是命题公式 根据条款1(PQ)是命题公式 根据、条款2(Q(PQ)是命题公式 根据、条款2(Q(PQ)P)是命题公式 根据、条款21.2 重言式1. 指出下列命题哪些是重言式、偶然式和矛盾式：重言式有：a c d e f h i k l 偶然式有：g j m n矛盾式有：b2. (a)= PQR= （PQR） (b)= P（QR）P = PQR = （P
7、QR） (c)= P（QR）= T (d)= F (e)=（P（QR）PQ= PQ= （PQ） (f)= PQ（RP）= PQRPQP= PQRF= （PQR）3. (a)= （PQ）P=PQP=T (b)= (PQ)P)= (PQP)= F (c)= (QP)(PQ)T =P (d)= PP=F4.(a)= PQP= P(PQ)= P(PQ) (b)= (PQ)(RQ)= (PR)Q= (PQ)Q= PRQ (c)= (PQ)(QP)= (PQ)(QP)= (PQ)(PQ)= (PQ)(PQ)= (PP)(PQ)(QP)(QQ)= (PQ)(PQ)(d)= (PQ) = PQ5使用恒等式证明
8、下列各式，并写出与他们对偶的公式。(a)(PQ)(PQ) P(b)(PQ)(PQ)(PQ) (PQ)(c)Q(PQ)P) T证明：(a)(PQ)(PQ) (PQ)(PQ) (P(QQ)P对偶公式: (PQ)(PQ)(b) (PQ)(PQ)(PQ) (P(QQ) (PQ) P(PQ) PPPQ (PQ)对偶公式: (PQ)(PQ)(PQ)(c) Q(PQ)P) Q(QP) QQPTPT对偶公式: Q(PQ)P)6.求出下列公式的最简等价式。(a)(PQ)(QP)R(b)PP(QQ)(c)(P(QS)(P(QS)解：(a)(PQ)(QP)R (PQ) (QP) RTR R(b)PP(QQ)TF T
9、(c)(P(QS)(P(QS) (PP) (QS) QS7.证明下列蕴含式。(a)PQ(PQ)(b)P (QP)(c)(P(QR) (PQ)(PR)证明：(a)方法一：只要证明PQ(PQ)是永真式PQ(PQ)(PQ)(PQ) (PQ) (PQ)PQQT既为永真式，故PQ (PQ)方法二：设PQ为T，则P和Q为T，则PQ为T，故PQ(PQ)方法三：设PQ为F，则P为F且Q为F，则PQ为F，故PQ(PQ)(b) 因为 P (QP) P(QP)T 故P (QP)(c) 因为 (P(QR) (PQ)(PR)(P(QR) (PQ) (PR) (PQR) (PQ) PR (PQR) (PP) (QP) R (PQR) (QPR)T故(P(QR) (PQ)(PR)
