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1、数 学 建 模 作 业 数学系08级陈朝晖，徐立，杨阳 题目：摘要：（目的，方法，结果，结论）许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。如何考虑标定各种情况下油罐的罐容表，关键在于确定各种情况下液面高度也容积的关系。这里以JJG_266-1996_卧式金属罐为主要考虑对象，在忽略一些微小细节的情况后，针对储油罐容积的计算，主要的影响因素是形状和罐体相对位置。经过建立数学模型和相关已给出的不同情况下的罐容表，得出了以下结论：问题1：情况一：储油罐罐体无变位时，对于
2、这种椭圆柱体的罐体（两端平头），利用数学理论建立起体积模型，求此时的容积V与油位高度h的关系式：情况二：储油罐罐体变位（即纵向倾斜角为）时，经过比例变换，同理得出：针对问题1所给的实验罐体，利用所建立的容积V与油位高度h的数学模型，通过EXECL、MATLAB，进行此时罐容表的标定，详表见附录。问题2：(1)储油罐罐体变位（即纵向倾斜角为，横向偏转角度）时，第一步考虑纵向倾斜角为变位后实际的罐体（两头为圆缺）情况。实际中对于这种罐体两端圆缺的的圆柱体，可分为3个部分，分别求相应的油体体积，最后相加即为所求，即。第二步考虑横向偏转角度为的情况：。(2)进而与附件2所给的数据来进行计算，加权平均得
3、到近似 的数值(3)根据问题2中实际的罐体建立容积V与油位高度h的的数学模型，通过EXECL、MATLAB。进行罐容表的标定，详表见附录。关键词：罐容表;卧式金属罐; 1. 问题重述许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。需要用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 (1)为了掌握罐体变位后对罐容表的影响
4、，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。(2)对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性
5、。2. 问题分析（详见模型建立）3. 符号说明符 号涵 义问题一中焦点在x轴的截面椭圆长半轴问题一中焦点在z轴的截面椭圆短半轴问题一中罐体水平放置时游浮子的标度问题一中罐体的长度问题一中罐体水平放置时截面的面积问题一中罐体水平放置时罐内油的体积问题一中罐体纵向变位时游浮子的标度问题一中罐体纵向变位置时截面的面积问题一中罐体纵向变位时罐内油的体积问题二中储油罐水平放置时游浮子的标度问题二中储油罐水平放置时截面的面积问题二中储油罐水平放置时球冠体内油的体积问题二中球冠体内任意竖直截面与y轴交点坐标问题二储油罐两端球冠体的半径问题二中球冠体内任意竖直截面的半径问题二储油罐罐身的半径问题二储油罐水平放
6、置时罐身的竖直截面面积问题二储油罐水平放置时罐身内油的体积问题二中储油罐水平放置时罐内油的体积问题二中储油罐纵向变位放置时右球冠体内油截面面积问题二中储油罐纵向变位放置时右球冠体内油的体积问题二中储油罐纵向变位放置时游浮子的标度问题二储油罐纵向变位放置时罐身的竖直截面面积问题二储油罐纵向变位放置时罐身油的体积4. 模型假设(1)(2)(3)如图5，1，1假设问题一中纵向倾斜变位时，罐体内的油面始终高于右截面的最底端。(4)(5)假设油位探针的底端固定在容器内底部，与容器无相对变动。(6)5. 模型建立与求解所解决的问题是属于石油化工中的地下储油罐（JG_266-1996_卧式金属罐）的容积估计
7、，且需给出相应高度的储油变化的罐容表。罐体位置情况可分为水平无变位和（纵向倾斜或横向偏转）变位。5.1储油罐油位高度与罐容标定模型（问题1）5.1.1 储油罐罐体无变位时的油位高度与罐容表标定模型对于这种罐体为两端平头的椭圆柱体，可利用数学理论建立起来体积模型模型是什么具体建立的步骤如下： 建立坐标如图5.1.1所示：此时椭圆曲线方程为： 则：而由积分知识有：解上述积分得： (5.1)通过与附件1中实际测量的情况做比较：可5.1.2 储油罐罐体变位（即纵向倾斜角为）时的油位高度与罐容表标定模型模型是什么？具体建立的步骤如下：首先建立坐标如图5.1.2所示：有此比例形式： 则此时由y找到动态：
8、由定积分知识有由MATLAB 解得上述积分：则：针对问题1所给的实验罐体，利用所建立的容积与油位高度的数学模型，通过EXECL、MATLAB，进行此时罐容表的标定，详表见附录。5.2储油罐罐体变位后油位高度与罐容标定模型（第二问）5.2.1储油罐罐体变位（即纵向倾斜角为，横向偏转角度）时的油位高度与罐容表标定模型模型是什么具体建立的步骤如下：第一步:针对实际罐体（两端为球冠体）此时建立坐标如图5.2.1所示：则同理有：如图由图中半径与弦的关系可计算出 同理如问题一中的图5.1.1左图所示，可得： 则 再考虑纵向倾斜角为变位后实际的罐体（两头为圆缺）情况。实际中对于这种罐体两端圆缺的的圆柱体，可
9、分为3个部分，如下图。分别求相应的油体体积，最后相加即为出我们所求，相似的可利用数学理论分别建立起体积模型求各自的容积V与油位高度h的关系式。具体建立的步骤如下：（1） 倾斜时右端圆缺内的体积（2） 中间圆柱体的体积：（3）倾斜时左端圆缺内的体积第二步考虑横向偏转角度为的情况 2. 储油罐罐体变位（即纵向倾斜角为，横向偏转角度）时的油位高度与罐容表标定模型的检验 罐内储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系模型通过 储油罐罐体变位参数的确定 储油罐罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值6. 模型结果分析与模型检验6.1 利用附件1实际检测数据来分析检验模型（此处应该 主要分析检验结果的
10、正确性与方法的可靠性）6.2 利用附件2实际检测数据来分析检验模型7. 模型的优缺点8. 模型的改进方向从模型公式可以看出和的关系式相当复杂, 不但和的三次方、平方有关系, 还和的平方根以及反三角函数有关。如此复杂的关系方程式在生产实际中几乎没有使用价值, 且求解很困难, 怎样才能简单易行呢。这实际上是一个曲线拟合问题。在工程数学中, 复杂的非直线的实验曲线大多处理成多参数方程, 即将因变量处理成是自变量的次方的多项式, 形式如:, 然后用最小二乘法求出各参数值。在工程数学中, 值取得越大, 曲线拟合的越好。但对于储油罐, 考虑到使用的方便性及计算的复杂程度, 选择3次方的关系, 建立如下的方
11、程式以使用最小二乘法进行计算, 最后的结果为：有时在分解卧式堆容积模式时, 将两端的封头处理成椭球体或拱形体, 当在一定液位下, 计算容积积分时, 会更容易一些,而基本模型方法类似。但在曲线拟合时都选取的以上多项式的模式进行拟合, 最终的效果一样。关系曲线拟合完成, 拟合得怎么样呢，需进行检验。将每个测试点的值代人曲线方程中, 计算对应的容积值, 然后跟实测值相比较, 看相差多少, 判断曲线拟合得怎么样, 也可以通过相关系数来判断。相关系数表示为: 其中： 相关系数的变化范围是, 若接近于, 则表明曲线拟合得很好, 若接近于, 则表明曲线拟合得不好参考文献3卧式罐的标定及数据处理方法卧式罐的标定及数据处理方法卧式罐的标定及数据处理方法说明：此部分 参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为：编号 作者，书名，出版地：出版社，出版年。参考文献中期刊杂志论文的表述方式为：编号 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。参考文献中网上资源的表述方式为：编号 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。附录（详见参赛论文的电子版）附录1：问题一模型求解的MATLAB语言程序附录2：问题二模型求解的MATLAB语言程序
