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1、第5章 刚体定轴转动(Rotation of Rigid Body about a Fixed Axis)1 刚体的运动一、刚体( rigid body)1.刚体刚体是受力时形状和体积不改变的物体 -理想化模型。刚体是特殊的质点系，其上各质点间的 相对位置保持不变。2.刚体的运动形式平动(translation)：可用质心的运动代表转动(rotation)： 分 定轴转动(本章讨论) 定点转动(如陀螺的运动)平面运动 (如车轮的运动)一般运动：可分解为两种运动 随质心的平动 绕通过质心的轴的转动wqpro转动平面二、刚体定轴转动的描述(运动学问题)1.物理量 转动平面：过刚体上某点p垂直于转轴
2、的 平面。转动中心：转动平面与轴的交点 op在转动平面内绕o作圆周运动 可用圆周运动的角量描述 刚体的运动。(1)角位置： q(2)角位移： Dqw =dqdt(3)角速度： w (矢量) 大小： 方向：沿轴(指向由右手确定)(4)角加速度：b (矢量) b = dwdtd2qd t2= 大小:： 方向：沿轴 b w (加速转动)；b w (减速转动)2.角量和线量的关系(1)p点的线速度 u = w r r ：p点的矢径(由转动中心o引出) (2)p点的线加速度=a =dudtd(wr )dt = =dwdtr+ w drdta = b r + w u 切向加速度： at = b r 法向加
3、速度： an = w u3.典型定轴转动(1)匀速转动： b = 0 w = const. q - q0 = w t12b = const.w = w0 +b t q - q0 = w0t + b t 2w2 - w02 = 2b (q - q0)(2)匀加速转动： M轴zorFr o转动平面xp 2 转动定律一、力矩1.力对轴的矩 设力F在转动 平面内，作用 点在 p M轴 = r F 方向：沿轴 (由右手定)； r是 op 思考：如F不在转动平面内，M轴方向如何 确定?2.力对固定点的矩 M点 = rF r 是 op ( o是某定点)可以证明：M轴 是M点 沿z轴的投影以下把M轴 记作M二
4、、转动定律1.推导刚体看作是由很多质元组成质元 i ：质量 DmizFiFjDm iDmjrirjfifjo 矢径ri (由转动中心引出) 外力Fi 内力 fi 由牛顿定律，对质元 Dmi有 Fi + fi = Dmi ai， (ai = ain + ait )以 ri对等式作叉积(从左侧) riFi + ri fi = Dmi ri( ain + ait ) ri ain = 0 (为什么?) riait = ri( bri) = ri2b 利用了a(bc) = (ac)b - (ab)c 于是有riFi + rifi = Dmi ri2b对所有质元求和有 S(riFi ) + S( ri
5、fi) =S (Dmi ri2)b各项意义 S(riFi )：各质元所受的外力矩之和, 即刚体所受的外力矩 S( rifi)：各质元所受的内力矩之和 可证 S( rifi) = 0 (见下) S (Dmi ri2)： 称刚体的转动惯量(见下)， 写作 J = S (Dmi ri2) 证明 S( rifi) = 0 每一对内力的内力矩之和都为零 对质元 i和 j，其内力矩之和为 rifi + rjfj = rifi + rj(-fi ) =( ri - rj)fi = 0 因 ( ri - rj)| fi 可知所有内力矩之和为零。 可得转动定律 M = JbDmirifiqijioFi另一证法在
6、刚体上任取一质元 i ：质量 Dmi 矢径ri (由转动中心o引出) 外力Fi；内力 fi (设均在转动平面内) 由牛顿定律，对质元 Dmi有 Fi + fi = Dmi ai其切向分量式为Fi sinji + fi sinq i = Dmi ait = Dmi ri b等式两端同乘以ri 有Fi ri sinji + fi ri sinq i = Dmi ri 2b (式中Fi ri sinji为外力Fi对轴的力矩；fi ri sinqi 为内力fi对轴的力矩)对每一个质元都可以列出相应的式子对所有质元的式子相加有SiFi ri sinji +Si fi ri sinq i = Si (Dm
7、i ri 2)b上式中SiFi ri sinj i为刚体所受的各外力对轴的力矩之和，即刚体所受的合外力矩(对轴)，记作M；因为内力成对出现，每一对内力的力矩之 和应为零，故上式中 Si fi ri sinq i = 0。Si (Dmi ri 2)是刚体的转动惯量J，故有转动定律 M = Jb2.意义：刚体所受的合外力矩等于转动惯 量与角加速度的乘积。 如M一定，则 Jb三、转动惯量(moment of inertia)1.定义 J = S (Dmi ri2) 如刚体为连续体，则为 J = r2dm 2.意义：反映刚体转动惯性的大小 J大 转动惯性大 J和下列因素有关： 刚体的质量 刚体的质量分
8、布m1= m2谁的J大?轮(断面)轴123棒J1、J2、J3 谁大? 轴的方位Rm3.计算例1求小球m的 转动惯量。 解：m看作质点 J = mR2 例2质量为m的细圆环，求J。 dmR 解：把环分成无限 多个质量为dm 的小段，对每 个dm有 dJ = R2dm 对整个环有 J = R2dm = mR2drdmdSrR例3薄圆盘 (质量 m，半径 R)，求J。解：把盘分成无限 多个环。取其中 一个环(半径r，宽dr，质量 dm)， 其转动惯量 dJ = r2dmdm = ( )2prdrmpR2 J = 0 r2dm = mR2R12 整个盘的转动惯量 转动惯量表 (见教材)ozDmicdr
9、cirio4.平行轴定理 J = Jc + md 2 J对oo轴的转 动惯量 Jc对通过质心C的轴的转动惯量 d两平行轴间的距离证明：J = SDmiri2 = SDmiri ri = SDmi(rci + d ) (rci + d ) = SDmi rci2 + SDmid2 +2S(drci)Dmi = Jc +md2 +2d(SDmirci) 第3项中 SDmi rci = 0 (为什么?)oRmo c例求环对 oo轴 的转动惯量。 解: J = Jc + mR2 = 2mR2四、转动定律的应用 M bRmm2m1a例1如图滑轮系统,图中 各量已知。求绳中张力及 物体加速度(设m2m1)
10、。T2m2m1T1T2T1 m2gm1gm 解：画受力图列动力学方程 对m1： T1 - m1g = m1a (1)对m2： m2g -T2 = m2a (2)对m： T2R - T1R = mR2b (3)12a = bR (4) 联立各方程可得 a =(m2- m1)gm1+m2+ m1212T1=m1g(2m2+ m)m1+m2+ m1212T2=m2g(2m1+ m)m1+m2+ m12qlomg注意： T1 T2 (m = 0时，有T1 = T2)例2质量为m、长 为l的棒可绕轴o 转动。棒由水平自静止释放。求：(1)棒摆至q角时的b、w； (2)棒在竖直位置时所受的轴力。解：(1)求b：棒在q 位置时所受的力矩M = mg( )cosql mg(l /2)cosq2 b =mg l cosq2J 由转动定律可得(2)求wb =dwdtdwdqdq dt)()= (dwdq= w w dw = b dq = (mg l cosq2J)dq
