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1、22.5等腰梯形（1）教学目标：1初步掌握等腰梯形的性质定理，并会用于简单的几何计算和证明2初步掌握等腰梯形几种常见辅助线的添置法3经历探索等腰梯形性质定理的过程，感受与此有关的类比、分类讨论和化归等数学思想，提高类比、归纳等能力 教学重点及难点：重点：等腰梯形的性质定理及其简单的运用难点：等腰梯形对称性的证明教学过程：教师活动学生活动设计意图一、方法类比，引入新课：师：在上一节课中，我们学习了一般的梯形，同时了解了特殊梯形直角梯形和等腰梯形的有关概念今天开始，我们研究等腰梯形的性质问1：我们研究等腰梯形的性质时，可以从哪些方面来进行研究？BCDA师：等腰梯形的定义告诉我们，从“边”来说等腰梯
2、形有“两底平行”、“两腰相等”的性质猜想：联想“等腰三角形的底角相等”，观察等腰梯形，猜想： 等腰梯形的同一底上的两个内角是否具有类似的性质？ 等腰梯形对角线又具有有怎样的性质？ 等腰梯形具有怎样的对称性呢？BCDA二、性质探究，进入主题：（一）等腰梯形的性质定理1：师：刚才同学们已经对等腰梯形的性质作出猜想，下面我们就来证明这些猜想.先来研究等腰梯形同一底上的两个内角为什么相等.求证：等腰梯形同一底上的两个内角相等分析：问1：我们如何证明这个文字命题呢？（同学表述转换过程，教师板演）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=DC求证：B=C，A=DBCDA问2：如何证明B=C呢？在证明两
3、角相等时，通常采用什么办法？问3：直接用以上的方法证明似乎有困难，你们看怎么办？问4：那么如何添？下面请同学们来尝试一下（学生小组讨论解决的方法）方法一：作等腰梯形的两条高，构造矩形和两个全等的直角三角形来进行证明方法一图EFBCDA问5：这里“作等腰梯形的两条高”的目的是什么？方法二：平移一腰，构造平行四边形和等腰三角形进行证明EBCDADECEBCDA方法二图问6：过梯形的顶点作一腰的平行线的目的是什么吗？ 证明：过点D作DEAB，交BC于点E ADBC，DEAB ，四边形ABED是平行四边形（平行四边形的定义），DE=AB（平行四边形对边相等）AB=DC，DE= DCDEC=C（等边对等
4、角） DEAB，B=DEC（两直线平行，同位角相等）B=C又B+A=180，C+CDA=180，A=CDA（等角的补角相等）师：经过刚才的推理论证，说明同学们的猜想“等腰梯形同一底上的两个内角相等”是正确的，我们把这个命题称为等腰梯形的性质定理1等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个内角相等符号语言：在梯形ABCD中，ADBC 且AB=DCB=C，A=D（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）问7：定理中为什么要强调“同一底上的两个内角”呢？（二）等腰梯形的性质定理2：师：完成了第一个猜想的证明后，我相信现在你们完全能够很快完成第二个猜想的证明求证：等腰梯形的两条对角线相等分析：类似性质一的
5、证明，我们首先把文字语言转换为图形语言和符号语言已知：在梯形ABCD中，ADBC ，AB=DC求证：AC=DBBCDA问：怎样证明AC=DB？等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等符号语言：在梯形ABCD中，ADBC 且AB=DCAC=BD（等腰梯形的两条对角线相等）（三）等腰梯形的对称性：师：学习了等腰梯形的两条性质定理后，在进一步研究等腰梯形的对称性前，我们先解决下面一个与等腰梯形有关的问题例题3 如图，延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD，相交于点E，EBC与EAD是什么形状的三角形？你能说明理由吗？ECBDA证明：四边形ABCD是等腰梯形，B=C（等腰梯形在同一底上的两个内角相等
6、）EBC是等腰三角形ADBC，EAD=B，EDA=C，EAD=EDA，EAD是等腰三角形分析：问1EBC与EAD是轴对称图形吗？问2它们的对称轴是什么？O2ECBBDAO1公共的顶角平分线是同一条，则它们有公共的对称轴，即A、D和B、C都关于这条直线对称，所以这条对称轴也是等腰梯形ABCD的对称轴 等腰梯形的对称性：等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴【适时小结】解决梯形问题可以转化为三角形问题：延长等腰梯形的两腰，将等腰梯形转化为具有公共顶角的两个等腰三角形注：若延长一般梯形的两腰，将梯形转化为具有公共顶角的两个三角形练习1：（书P94页 第2题）已知：如图，在等腰梯形ABCD
7、中，ADBC，ABDC，E是AD延长线上的一点，CE=CD，求证：E=BBCDAE12练习2：（书P94页 第3题）如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ADAB，BDDC，求C的度数BCDABCDx2xBACDxxxBACD2x2x分析：三、课末小结，师生相长：通过本节课的学习大家有什么收获?又有哪些体会?1知识点方面：等腰梯形的性质2等腰梯形的几种常用辅助线：（1）做等腰梯形的两条高，将等腰梯形转化为矩形和两个全等的直角三角形（2）平移一腰，将等腰梯形转化为平行四边形和等腰三角形（3）延长等腰梯形的两腰，将等腰梯形转化为具有公共顶角的两个等腰三角形3研究的方式方法：借助辅助线将新的问题转化
8、为原来已经熟悉的问题四、作业：练习册 P48页 习题22.5(1)答1：可以从等腰梯形边、角、对角线、对称性来进行研究答：角：同一底上的两个内角相等(ABC=BCD,BAD=ADC)对角线：两条对角线相等； (AC=DB)对称性：轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线答1：先画符合题意的图形，再写出“已知”、“求证”然后证明.答2：证明两角所在的两个三角形全等；证明两角所在的图形是等腰三角形；证明两角所在的图形是平行四边形，等等.答3：添辅助线答5：通过作等腰梯形的两条高，使将等腰梯形同一底上的两个内角在两个直角三角形中，再利用HL定理来证明RtABERtDFC，所以可得对应角B=C答6
9、：因为在等腰梯形中相等的两条边不在同一个三角形中，如果过梯形的一个顶点作一条腰的平行线，就可将等腰梯形中相等的两条边及同一底边上的两个内角“移”到一个三角形中来，再利用等腰三角形的性质即可证明两个内角相等答7：如是同一腰上的两个内角，或者分别在两底上的两个内角就不相等（学生口述证明过程即可）答：可以证明ABC DCB，利用全等三角形的对应边相等得到AC=DB（学生完成证明过程）证明：四边形ABCD是等腰梯形，ABC=DCB（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）AB=CD，BC=CB，ABC DCB，AC=DB答1都是轴对称图形答2：它的的对称轴是底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线所在的直线梯
10、形中常用的辅助线：证明：在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABDC，B=1（等腰梯形在同一底上的两个内角相等）CE=CD，2=EADBC，1=2，E=B1 等腰梯形的性质：同一底上的两个内角相等；两条对角线相等；是轴对称图形，对称轴是两底中点的连线所在的直线通过问1帮助学生回忆旧知识，渗透类比的思想，类比平行四边形性质，了解研究等腰梯形的性质的顺序充分调动学生的认知准备让学生观察等腰梯形的图形，类比等腰三角形的性质，猜想等腰梯形有哪些特殊的性质，激发学生学习数学的积极性问2和问3引导学生认识到，在解决新问题时，可以从我们已有知识出发，将新问题转化为老问题来解决这个环节要给学生充分的时间进行讨论，
11、通过合作交流、自主探索、集思广益得到添加辅助线的方法方法一让学生体会到：作等腰梯形的两条高，可将 “等腰梯形”转化“矩形”和“两个全等的直角三角形”，使他们逐步掌握等腰梯形中常用的添加辅助线的方法作等腰梯形的两条高方法二让学生体会探索这一性质定理证明方法的基本思路是“平移一腰”，把梯形问题转化为平行四边形或三角形中的问题，同时感受到“平移一腰”是等腰梯形中常用的解题思路例题3是等腰梯形性质定理1的初步运用，要让学生体会任何一个等腰梯形总有相应的一个等腰三角形问1和问2帮助学生进一步认识等腰梯形与等腰三角形之间的联系，引导学生利用等腰三角形的对称性来研究等腰梯形的对称性，有利于理解“延长梯形两腰交于一点”这种常用的添辅助线方法练习的解决是以学生为主，要求学生在独立思考后进行交流和讨论，进一步理解等腰梯形的性质定理，学
