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1、2021年高考数学解答题专项练习立体几何文数如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D,E分别是AB，BB1的中点.（1）证明： BC1/平面A1CD;（2）设AA1= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A1DE的体积.【答案解析】解：（1）证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF因为DF平面A1CD，BC1不包含于平面A1CD，所以BC1平面A1CD（2）解：因为ABCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD由已知AC=CB，D为AB的中点，所以CDAB又AA1AB=A，于是CD平面ABB1A1由AA1=AC=CB=2，得ACB=90，A1E=3
2、，故A1D2+DE2=A1E2，即DEA1D所以三菱锥CA1DE的体积为：=1如图所示，在棱长为2的正方体ACBD-A1C1B1D1中，M是线段AB上的动点（1）证明：AB/平面A1B1C；（2）若M是AB的中点，证明：平面MCC1平面ABB1A1；（3）求三棱锥M-A1B1C的体积【答案解析】解:（1）证明：因为在正方体中，平面，平面，平面 （2）证明：在正方体中，,是中点，.平面，平面，则.平面，平面，且，平面.平面，平面平面 （3）因为平面，所以点，点到平面的距离相等.故 如图，已知三棱锥A-BPC中，APPC，ACBC，M为AB的中点，D为PB的中点，且PMB为正三角形.（1）求证：D
3、M/平面APC；（2）求证：BC平面APC；（3）若BC=4，AB=10，求三棱锥D-BCM的体积.【答案解析】解:(1)证明：因为为的中点，为的中点，所以是的中位线，.又，所以.(2)证明：因为为正三角形，为的中点，所以.又，所以.又因为，所以.因为，所以.又因为，所以.(3)因为，所以，即是三棱锥的高.因为，为的中点，为正三角形，所以.由，可得，在直角三角形中，由，可得.于是.所以.如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，AD=CD（1）证明：ACBD；（2）已知ACD是直角三角形，AB=BD若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比【答案解析】解
4、：（1）取AC的中点O，连结DO，BO.因为AD=CD，所以ACDO. 又由于是正三角形，所以ACBO.从而AC平面DOB，故ACBD.（2）连结EO.由（1）及题设知ADC=90，所以DO=AO.在中，.又AB=BD，所以，故DOB=90.由题设知为直角三角形，所以.又是正三角形，且AB=BD，所以.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为1:1.在四棱锥P-ABCD中，平面PAC平面ABCD，且有AB/DC，AB=2AC=2CD=AD（1）证明：BCPA；（2）若，Q在线段
5、PB上，满足PQ=2QB，求三棱锥P-ACQ的体积【答案解析】解:（1）证明：不妨设，则由是等边三角形得，由余弦定理得，即，所以，所以，即又平面平面ABCD平面平面平面ABCD，平面PAC平面PAC，（2）依题意得，如图，四棱锥P-ABC中，PA平面ABCD，AD/BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点（1）证明:MN/平面PAB；（2）求四面体N-BCM的体积.【答案解析】解：（1）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.
6、 取的中点，连结.由得，.由得到的距离为，故.所以四面体的体积. 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC=90（1）证明：平面PAB平面PAC；（2）设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积.【答案解析】解:（1）连接，为圆锥顶点，为底面圆心，平面，在上，是圆内接正三角形，即，平面平面，平面平面；（2）设圆锥的母线为，底面半径为，圆锥的侧面积为，解得，在等腰直角三角形中，在中，三棱锥的体积为. 如图,四边形ABCD为矩形,且AD=2,AB=1,PA平面ABCD,PA=1,E为BC的中点.（1）求证:PEDE；（2）求三棱锥C-PDE
7、的体积；（3）探究在PA上是否存在点G,使得EG/平面PCD，并说明理由.【答案解析】解:(1)连结,为的中点,为等腰直角三角形,则,同理可得, 又,且, , 又,又,.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,而是三棱锥的高,. (3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结. 是的中点, ,且, 又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC/AD,且EC=AD,所以EC/GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG/CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG/平面PCD.如图，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PA=AB=BC=2，D为
8、线段AC的中点，E为线段PC上一点.(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积【答案解析】解:（I）因为，所以平面，又因为平面，所以.（II）因为，为中点，所以，由（I）知，所以平面.所以平面平面.（III）因为平面，平面平面，所以.因为为的中点，所以，.由（I）知，平面，所以平面.所以三棱锥的体积.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA平面ABCD，PA=AB，M是PC上一点.（1）若BMPC，求证：PC平面MBD；（2）若M为PC的中点，且AB=2，求三棱锥M-BCD的体积.【答案解析】解：（1）证明：连接，
9、由平面，平面得，又，平面，得，又，平面.（2）解：由为的中点得.四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AD=2AB=2BC,BAD=ABC=90. （1）证明：直线BC/平面PAD;（2）若PCD面积为，求四棱锥P-ABCD的体积.【答案解析】解：（1） 在平面内，因为,所以又平面平面故平面（2）取的中点，连接由及得四边形为正方形，则.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因为底面，所以,设，则，取的中点，连接，则,所以，因为的面积为，所以，解得（舍去），于是所以四棱锥的体积如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M
10、，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F（1）证明：AA1/MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；（2）设O为A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO/平面EB1C1F，且MPN=，求四棱锥BEB1C1F的体积【答案解析】解:（1）分别为，的中点，又在等边中，为中点，则又侧面为矩形，,由，平面平面又，且平面，平面，平面又平面，且平面平面又平面平面平面平面平面（2）过作垂线，交点为，画出图形，如图平面平面，平面平面又为的中心.故：，则，平面平面，平面平面，平面平面又在等边中即由（1）知，四边形为梯形四边形的面积为：，为到的距离，.如图，直三棱柱
11、A1B1C1-ABC中，ACBC,AC=BC=1,CC1=2,点M是A1B1的中点.（1）求证：B1C/平面AC1M；（2）求三棱锥A1-AMC1的体积.【答案解析】解:（1）连接交与，则为的中点，又为的中点，又因为平面，平面，平面；（2）因为，直三棱柱中，,，且点是的中点所以.如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，BE平面ABCD，（1）证明：平面AEC平面BED；（2）若ABC=120，AEEC 三棱锥E-ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积.【答案解析】解:（1）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以AC BE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平
12、面AEC 平面BED（2）设AB=，在菱形ABCD中，由 ABC=120，可得AG=GC=,GB=GD=.因为AEEC，所以在 AEC中，可得EG=.连接EG，由BE平面ABCD，知 EBG为直角三角形，可得BE=.由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故 =2从而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面积为3， EAD的面积与ECD的面积均为 .故三棱锥E-ACD的侧面积为.如图，在平行四边形ABCM中，AB=AC=3，ACM=90，以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且，求三棱锥Q-ABP的体积【答案解析】解：（1）由已知可得，=90，又BAAD，且，所以AB平面ACD又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=又，所以作QEAC，垂足为E，则 由已知及（1）可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE=1因此，三棱锥的体积为
