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1、四 万有引力 人造卫星 一、开普勒行星运动定律 1开普勒第一定律(又叫轨道定律)：所有的行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳是在这些椭圆的一个焦点上 2开普勒第二定律(又叫面积定律)：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积 3开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值部相等 以表示两个行星的公转周期，表示两个行星椭圆轨道的半长轴，则周期定律可表示为或，比值k是与行星无关而只与太阳有关的恒量【例题1】飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为L如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦
2、点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图431所示如果地球半径为，求飞船由A点到B点所需要的时间 分析 由于圆周运动可以看成半长轴与半短轴相等的特殊椭圆运动时其轨道半径的三次方跟周期的平方比值，等于飞船绕地球沿椭圆轨道运动时，其半长轴的三次方跟周期平方的比值飞船椭圆轨道的半长轴为，设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T，则有 而飞船从A点到B点所需的时间为【例题2】如果人造地球卫星（或飞船）沿半径为r的圆形轨道绕地球运动，现卫星要返回地面，可在A位置开动制动发动机，使卫星速度降低并转移到与地球相切于B点的椭圆轨道，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，如图所示。问在这之后，卫星经过多长时间
3、着陆？（已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g）解析：对近地小圆轨道有 mg = 即 GM=R2g 应用开普勒第三定律 = 对变速椭圆轨道 a = 对变速椭圆轨道应用式可求 T = 显然，着陆时间为： t = 答案：二、万有引力定律1公式：其中，叫万有引力恒量2适用条件：严格来说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时公式也近似适用，但此时它们间距离r应为两物体质心间距离3注意：公式中F是两物体间的引力，F与两物体质量乘积成正比与两物体间距离的平方成反比，不要理解成F与两物体质量成正比、与距离成反比补偿法解决万有引力问题的方法：所谓补偿法，对某些物理题，当待求
4、的A直接求解困难时，可想法补上一个B，补偿的原则是使得A+B变得易于求解，而且补上去的B也容易求解那么，待求的A从两者的差值获得，问题就迎刃而解了这种方法解题常使一些难题的求解变得简单明了 【例题3】 如右图所示，阴影区域是质量为M、半径为R的球体挖去一个小圆球后的剩余部分所挖去的小圆球的球心O和大球体球心问的距离是R/2求球体剩余部分对球体外离球心。距离为2R、质量为m的质点P的引力 分析：万有引 力定律只适用于两个质点间的作用，只有对均匀球体，才可将其看作是质量全部集中在球心的一个质点至于本题中不规则的阴影区，那是不能当作一个质点来处理的故可用补偿法，将挖去的球补上 解析：将挖去的球补上，
5、则完整的大球对球外质点P的引力：半径为R/2的小球质量，补上的小球对质点P的引力：因而挖去小球的阴影部分对P质点的引力： 评析：如果题中的球穴挖在大球的正中央。如右图所示，根据同样道理可得剩余部分对球外质点的引力 上式表明，一个均质球壳对球外质点的引力跟把球壳的质量(7M/8)集中于球心时对质点的引力一样三、应用万有引力定律分析天体的运动1基本模型的建立环绕模型：把天体的运动看成是环绕某中心天体的匀速圆周运动，其所需的向心力由万有引力提供近球模型：处于星球表面或附近的物体受到的万有引力近似等于物体的重力“金三角关系”：所有天体（卫星）运动问题的求解尽在“金三角关系”之中说明：问题属于环绕模型时
6、，选用F引=F向关系；问题属于近球模型时，选用F引=G=F向关系本章的所有有关天体运动的计算公式都可以有这三角等量关系推出，无须记忆，解题时，先确定是哪个模型，然后选择相应的等量关系列方程，即可推出结果的表达式各类天体（包括卫星）问题星球表面或附近的重力加速的求解：星球表面重力加速度问题属于近球模型，故选用F引=G=F向关系列方程，如下例 【例题4】假设火星和地球都是球体，火星的质量和地球质量之比，火星的半径和地球半径之比，那么离火星表面高处的重力加速度和离地球表面高处的重力加速度之比等于多少?说明：根据上题的结论，在地球表面有：,此式称为黄金代换式，如果是别的球星，将式中的地球半径R换成别的
7、星球半径后，此式仍然成立！重力随离地面高度的变化而变化，当物体在高空中可忽略地球自转的作用，重力跟万有引力相等，在地面上，在h高度处 , 所以，随高度的增加，重力加速度减小，在计算时，这个因素不能忽略估算天体的质量和密度：测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期T，即可进行估算。把卫星运动看成匀速圆周运动，则属于环绕模型，选用F引=F向列方程，即可求解！ 物理估算，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对所有物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的推算 物理估算是一种重要的方法有的物理问题，在符合精确度的前提下可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题 ，由于本身条
8、件的特 殊性，不需要也不可能进行精确的计算在这些情况下，估算就成为一种科学而又有实用价值的特殊方法 【例题5】 把地球绕太阳公转看作是匀速圆周运动，轨道平均半径约为1.5l08km，已知万有引力常量 G=6.67l011Nm2kg2则可估算出太阳的质量大约是多少kg? (结果取一位有效数字) 分析 题干给出地球轨道半径：r1.5 x1011m,虽没直接给出地球运转周期数值但日常知识告诉我们：地球绕太阳公转一周为365天故T= 365 243600s=3.15 x107s说明：分析时注意隐含条件，如此题的地球公转周期，注意求出的质量M是中心天体的质量！ 【例题6】 1789年英国著名物理学家卡文
9、迪许首先估算出了地球的平均密度根据你学过的知识，能否知道地球密度的大小 解：设地球质量为M，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得：将地球看成均匀球体： 由上两式得地球的平均密度：上式中：、g、R和G均为常数将它们的值代人可 得：=5.5103kg/m3，即地球的平均密度为5.5l03kgm3 说明：估算题中往往告诉的已知量很少或者什么量也不告诉，解题时就要求我们灵活地运用一些物理常数，如：重力加速度g、 圆周率、万有引力恒量 G等等 赤道上的物体与近地运行卫星 a放在赤道上的物体随地球自转时受两个力的作用：一个是地球对它的万有引力；另一个是地面对物体的
10、支持力这两个力的合力提供了物体做圆周运动的向心力，即，这里 物体的向心加速度，远小于地面上物体的重力加速度g=9.8m倍，故在近似计算中忽略自转影响，而认为地面上物体的重力和该物体受到的万有引力大小相等在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大地面上的物体的重力随纬度的增大而增大故重力加速度g从赤道到两极逐渐增加【例题7】地球赤道上有一物体随地球一起自转做圆周运动，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为功，角速度为1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度可忽略)所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为2，地球同步卫星所受的向心力为F1，向心加速度为a3，线速度为v
11、3，角速度为3，地球表面重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则 ( ) 【例题8】 地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球的转速应为原来的( )b绕天体运行的卫星，只受一个力即万有引力，卫星上物体处于完全失重状态，故卫星的向心加速度a等于卫星所在处的重力加速度g，对近地卫星来讲近地卫星的环绕速度即地球卫星的最小发射速度，叫做第一宇宙速度当卫星靠近地球表面运动时，其受到的万有引力可以近似等于其受到的重力（忽略地球自转），则卫星运动的向心力由其本身的重力提供，可以选用近球模型求解第一宇宙速度：mg,由于近地卫星轨道
12、半径近似等于地球半径，故式中的R为地球半径！卫星绕行速度、角速度、周期与半径的关系：a对卫星运动属于环绕模型，选用F引=F向等量关系列方程如下：，得 b三种宇宙速度(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v=7.9kms；(地球卫星的最小发射速度)：mg,或,R为地球半径！(2)第二宇宙速度(脱离速度)：v=11.2kms；(卫星挣脱地球束缚的最小发射速度)(3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v=16.7kms(卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度)c卫星上的“超重”和“失重”： “超重”是卫星进入轨道前加速时，卫星上的物体“超重”，此情景与“升降机中物体超重相同“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体
13、完全“失重”(因为重力提供向心力)因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用【例题9】人造卫星的天线偶然折断，那么：（ ）A天线将作自由落体运动，落向地球 B天线将作平抛运动，落向地球C天线将沿轨道切线方向飞出，远离地球 D天线将继续和卫星一起沿轨道运转【例题10】 2003年10月15日，我国神舟五号载人飞船成功发射这标志着我国的航天事业发展到了很高的水平为了使飞船顺利升空，飞船需要一个加速过程在加速过程中，宇航员处于超重状态人们把这种状态下宇航员对座椅的压力与静止在地球表面时所受重力的比值，称为耐受力值，用k表示在选拔宇航员时，要求他在此状态的耐受力值为4k12宇航员杨利
14、伟的k值为10神舟五号变轨后以7.8103ms的速度沿圆形轨道环绕地球运行已知地球半径R6.4103 km，地面重力加速度g10 ms2求： (1)当飞船沿竖直方向加速升空时，杨利伟承受了巨大的压力在他能够承受的最大压力的情况下，飞船的加速度是多大? (2)求飞船在上述圆形轨道上运行时距地面的高度h地球同步卫星： (1)所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球具有相同周期的卫星，T24小时 (2)同步卫星必位于赤道上方h 处，且h 是一定的证明如下：如图442，假设卫星在轨道B上跟着地球的自转同步地作匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力F 引，F引中除用来作向心力的F1外，还有另一部分F2，由于F2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道上运行 (3)环绕速度v=3.08(kms)在轨道半径一定的条件下，同步卫星的环绕速度也一定，且为 (4)变轨道发射发射同步卫星，一般不采用普通卫星的直接发射方法，而是采用变轨道发射(图443) 首先，利用第一级火箭将卫星送到180200km的高空，然后依靠惯性进入圆停泊轨道(A) 当到达赤道上空时，第二、三级火箭点火，卫星进入位于赤道平面内的椭圆转移轨道(B)，且轨道的远地点(D)为35800km
