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1、 微积分思想在高中数学中的应用摘要 如今，微积分这一部分已经成为了高中数学教材中较为重要的一知识部分。教学大纲中已经将微积分的部分知识正式提出，相应的教材也出版了多次。微积分是理工科大学生的必修课程，而高中开设的微积分，对大学微积分教学产生了很多很重要的影响。同时，利用微积分可以解决许多初等数学中的问题，如在函数；方程；数列；曲线等都有很多应用。微积分有助于初等数学的深入学习。目前高考中的一个热门就是利用微积分来处理初等数学中的值域问题及不等式问题。所以，如何开设高中微积分课程，如何完成从初等数学到高等数学上的一个基本过渡，这是一个很值得研究的问题。本文就在此背景下研究这个问题，力求在教育思想
2、、教育理念上达到一个升华。关键词：微积分；新课标；高中数学；函数；方程；数列；曲线；不等式 1 The application of calculus in high-level mathematics Abstract Now infinitesimal calculus has become a pretty important part in high school textbookIn teaching program，infinitesimal calculus is raised and be published in textbook three timesEspecially
3、in the new standard for course，infinitesimal calculus has been a key pointAnd，infinitesimal calculus is a obligatory course for science students in university。The set up of infinitesimal calculus in high school took affect for university study a lotInfinitesimal calculus could solve basic mathematic
4、s problem in a convenient methodLearning infinitesimal calculus is an efficient tool for basic mathematics learningHow to set up infinitesimal calculus lesson in high school，how to solve the transition from junior middle school to senior middle school ? Its a question that valuable to studyAt this b
5、ackground，we do some research for this question，to get a sublimation of teaching thinkingKey words：infinitesimal ；calculus ；new standard of course ；function ；function ；equation ；progression ；curve1目 录中文摘要. .英文摘要. .引言. .11.问题的提出与研究综述. .11.1研究背景.11.2微积分在高中的教学与研究综.21.2.1中学微积分课程的教学现状. .21.2.2 我国中学微积分的教学
6、研究现状. .21.2.3 中学微积分的学习现状. .32.导数在高中数学的应用. .32.1导数在函数单调性问题上的应用.42.2利用导数求函数的极值问题.42.3导数关于方程解的应用.62.4导数在曲线的切线问题上的应用.72.5导数在数列问题上的应用.82.6导数在不等式问题上的应用.103.积分在高中数学的应用. .103.1定积分在几何中的应用.113.2定积分在物理中的应用.114.结论与展望. .13参考文献. .141引 言 微积分的建立是离不开实数、函数和极限的。在古代的时候就有极限和微积分的概念，从十七世纪后半叶起，经过长期的发展演变，才得以严密化。微积分的发展与实际应用有
7、着密不可分的联系，随着社会的进步发展，微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。微积分不仅在自然科学、社会科学及应用科学各个分支等也起到很大的作用，在数学方面的发展更是提供了极大的推动。计算机的出现，更有助于这些应用的不断发展，在研究这些变化着的量时数学也就进入了“变量数学”时代。一门渐渐完善的学科微积分，越来越受到人们的关注，也就有了越来越多的人不断研究、应用微积分思想。1.问题的提出与研究综述1.1 研究背景微积分在天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学学等自然科学都有广泛的应用。它推动了人类科学的进步，使人类经济、社会生活都取得较快
8、的发展。在当今竞争激烈的高考中，微积分成为高考考查的一个重点、难点。微积分所具有的教育价值是需要我们重视的，它使得我们能够更全面的认识数学价值。新中国成立以后，随着课程改革微积分经过多次修改才被正式列入中学教材内容。在2003的课程改革中，微积分内容又进行了修改，并且改名为导数及其应用。在2006年可以看到不少关于学生在学习微积分的认知心理过程的文章。专门研究中学微积分教学方面的论文在2009年之后也出现不少。当前已经有不少专家对微积分的教学现状进行了调查研究,并提出了一些中可供参考的教学策略。通过对以上内容的分析研究，我决定从微积分思想在高中数学的应用这一方面做深入的探讨。12 微积分在高中
9、的教学与研究1.2.1微积分在中学课程的教学现状微积分出现在很多国家的高中课程中。德、英、法都把微积分设为必修课，并且在内容安排上都是比较深奥的。美国和日本虽然把它设为选修课，但高考的范围里面也包含微积分。别的许多国家也把微积分写入了高中教材中。在我国，微积分在高中课程的教学并不是一帆风顺的。我国的高中数学课程水平也是起起落落，微积分在其中也扮演着不同的角色。经过多次改革，很多高等数学知识在高中教材中出现了，微积分成为高中了教学的内容之一。受我国国情和中学数学教学情况的影响，微积分又在教学教材中消失了一段时间。在文化大革命结束后，新的教学大纲即“试行草案”新鲜出炉了，微积分再一次被编入高中教材
10、。经过几年的试验之后，又发现了一个问题，即老师和学生都不能适应新的教学内容。微积分在1983年底又改成了选学内容，尽由各个学校自由选择，只是保留了要求比较低的极限这一内容。 近年来受到高考的影响，微积分被很多高中作为在高中课程必须学习的功课，微积分的教学也被真正被重视起来。1.2.2 微积分在我国中学教学研究现状通过对我国中学教学研究，很多专家认为，微积分的课程在高中时期应包含实数连续统、极限和函数、导数及其意义、导数的运算及其运用、通过微积分认识中学数学、微积分所具含的文化价值。 在对教师如何给高中生讲授微积分这一问题，其中匡继昌老师在他的论文中进行了讨论，匡继昌是湖南师范大学的一名教授。他
11、提出了一些新的思路：第一、在给高中生讲授微积分课程时，要做到在学生的接受、理解的基础上讲授与大学课程相衔接的内容；第二、高中微积分课程应该以基础课程为主，这样可以降低学生学习的难度，教师也能有更多的时间讲授微积分的应用方面的知识；第三、教师在教授微积分概念和微积分思想的时候不能只是单单按照课本念，应该做充分准备性说明，更好的让学生理解接受；第四、微积分应该作为高中的必修课来学习。 张晓波的硕士学位论文在教学方面作了研究，在他的论文中讲述了我国与西方国家的微积分教学的不同之处，研究了新的教学大纲和微积分在高考要求之后，对如何在高中进行微积分的教学作了探讨。他提出的教学策略有：(1)首先要给学生贯
12、入变量思维的数学观，深化对概念的理解记忆；(2)防止学生在学习微积分时只是记住一些公式和结论；(3)让学生理解微积分在高中数学的重要性；（4)加强对数学的文化的渗透.在对微积分教学设计上面可以多采用问题教学法进入到对微积分的学习。我国有好多专业人士在微积分这一知识做了大量的探索研究，但是对微积分思想在高中数学的应用这一方面的研究却不多，该论文主要对其应用进行研究。1.2.3 中学微积分的学习现状 在高中数学的教学中，微积分是在学完必修课本以后，在选修内容中进行学习的。微积分近些年来已经成为高考必考点，老师和学生在平时学习中也对它足够重视。在客观上讲，学生已经能够理解极限的思想、运动变化的思想，
13、这就使得学生在理解导数、积分等重要概念的可能性大大提高了。经过对必修内容的学习学生已经具备了函数知识的基础。用极限的思想来研究函数是微积分的表现形式，而构建一种运动变化模型则是函数。但由于学生对运动变化的认识层面不高，而函数突出表现了函数关系和函数性质，因此对客观事物数学形式的认识是不够全面的。在高中教材中微积分主要突出了对变化率的研究，用导数的大小来表示一些生活事物的变化快慢。微积分内容在高中教材中有一专题，即利用微积分中的导数这个知识点来探究函数的基本性质，学生通过观察函数图像的切线斜率的大小来判断函数的单调性和极值等性质。很多学者经过对全国各地的高中生进行了大量的问卷调查研究，发现绝大部分的学生微积分的掌握还是很好的，对微积分的思想理解的很好，能够很好的利用微积分解决一些比较复杂的难题。2. 导数在高中数学的应用导数是高中教学的一个重点、难点内容
