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1、第五章例5-1 已知一控制系统结构图如图5-61所示，当输入r(t) = 2sint时，测得输出c(t)=4sin(t-45)，试确定系统的参数x ，wn。解 系统闭环传递函数为系统幅频特性为相频特性为由题设条件知c(t) = 4sin( t -45) =2 A(1) sin(t + j(1) 即整理得解得wn = 1.244x = 0.22例5-21 系统的传递函数为试绘制系统概略幅相特性曲线。解 (1) 组成系统的环节为两个积分环节、两个惯性环节和比例环节。(2) 确定起点和终点由于ReG(jw)趋于-的速度快，故初始相角为-180。终点为(3) 求幅相曲线与负实轴的交点由G(jw)的表达
2、式知，w 为有限值时，ImG(jw) 0，故幅相曲线与负实轴无交点。(4) 组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故j(w)单调地从-180递减至-360。作系统的概略幅相特性曲线如图5-62所示。例5-22 已知系统传递函数为试绘制系统的概略幅相特性曲线。解 (1) 传递函数按典型环节分解(2) 计算起点和终点相角变化范围不稳定比例环节-50：-180 -180惯性环节1/(0.2s+1)：0 -90不稳定惯性环节1/(-2s+1)：0 +90不稳定二阶微分环节0.2s2-0.4s+1：0 -180(3) 计算与实轴的交点令ImG(jw) = 0，得ReG(jwx) = -4.037(
3、4) 确定变化趋势 根据G(jw)的表达式，当w wx 时，ImG(jw) wx 时，ImG(jw) 0。作系统概略幅相曲线如图5-63所示。例5-23 系统的开环传递函数为试用奈氏判据判断系统的稳定性。解 (1) 绘制系统的开环概略幅相曲线 组成系统的环节为一个积分环节、两个惯性环节和比例环节。 确定起点和终点 求幅相曲线与负实轴的交点令ImG(jw) = 0，得 组成系统的环节都为最小相位环节，并且无零点，故j(w)单调地从-90递减至-270。作系统的概略幅相特性曲线如图5-64所示。(2) 用奈氏判据判断系统的稳定性由于组成系统的环节为最小相位环节，p = 0；且为1型系统，故从w =
4、 0处补作辅助线，如图5-64虚线所示。当时，即，幅相特性曲线不包围(-1，j0)点，所以闭环系统是稳定的。当时，即，幅相特性曲线顺时针包围（-1，j0）点1圈，R = -1，z = p -2R = 2 0，所以系统是不稳定的。例5-24 单位反馈控制系统开环传递函数试确定使相位裕度g = 45的a 值。解 wc4 = a2wc 2 + 1awc = 1联立求解得 例5-25 最小相位系统对数幅频渐近特性如图5-65所示，请确定系统的传递函数。解 由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。在w = 0.1处，斜率从0 dB/d
5、ec变为20dB/dec，属于一阶微分环节。在w = w1处，斜率从20 dB/dec 变为0 dB/dec，属于惯性环节。在w = w2处，斜率从0 dB/dec变为-20 dB/dec，属于惯性环节。在w = w3处，斜率从-20 dB/dec变为-40 dB/dec，属于惯性环节。在w = w4处，斜率从-40 dB/dec变为-60 dB/dec，属于惯性环节。因此系统的传递函数具有下述形式式中K，w1，w2，w3，w4待定。 由20lgK = 30得K = 31.62。确定w1： 所以 w1 = 0.316确定w2： 所以 w2 =82.54确定w3： 所以 w3 =34.81确定w
6、4： 所以 w4 =3.481于是，所求的传递函数为例5-26 某最小相位系统的开环对数幅频特性如图5-66所示。要求：(1) 写出系统开环传递函数；(2) 利用相位裕度判断系统稳定性；(3) 将其对数幅频特性向右平移十倍频程，试讨论对系统性能的影响。解 (1) 由系统开环对数幅频特性曲线可知，系统存在两个交接频率0.1和20，故且 得 k = 10所以 (2) 系统开环对数幅频特性为 从而解得 wc = 1系统开环对数相频特性为j(wc) = -177.15g =180 + j(wc) = 2.85故系统稳定。(3) 将系统开环对数幅频特性向右平移十倍频程，可得系统新的开环传递函数其截止频率
7、wc1 =10wc =10而g 1 =180+ j1(wc1) = 2.85g 1 = g系统的稳定性不变。由时域估计指标公式ts = kp /wc得 ts1 = 0.1ts即调节时间缩短，系统动态响应加快。由得 Mp1 = Mp即系统超调量不变。例5-27 单位反馈系统的闭环对数幅频特性分段直线如图5-67所示。若要求系统具有30的相位裕度，试计算开环放大倍数应增大的倍数。解 由闭环对数幅频特性曲线可得系统闭环传递函数为因此系统等效开环传递函数其对数相频特性为若要求j(w1) = -150，可得w1 = 2.015系统对数幅频特性曲线为 要使系统具有30相角稳定裕度，w1应为截止频率，有则
8、ka = 4.03故系统开环放大倍数应增大4.03倍。例5-28 系统开环传递函数为试用奈氏判据判断系统的稳定性。解 将传递函数按典型环节分解幅相曲线的起点和终点 当w为有限值时，ImG(jw) 0，幅相曲线与负实轴无交点。由于惯性环节的时间常数T1 = 0.2，小于不稳定性环节的时间常数T2 = 1，故j(w)呈现先增大后减小的变化。作系统开环幅相曲线如图5-68所示。由于n =1，故需从幅相曲线上w = 0的对应点起，逆时针补画半径为无穷大的p/2圆弧。由系统开环传递函数知，s右半平面系统的开环极点数p =1，而幅相曲线起于负实轴，且当w 增大时间上离开负实轴，故为半次负穿越，N = -1
9、/2。于是s右半平面的闭环极点数z = p -2N = 2表明系统闭环不稳定。例5-29 系统开环频率特性分别为如图5-69的(a)和(b)所示，试判断闭环系统的稳定性。解 (a)图给出的是w (-，0)的幅相曲线，而w (0，+)的幅相曲线与题给曲线对称于实轴，如图5-70所示。因为n = 1，故从w = 0的对应点起逆时针补作p/2，半径为无穷大的圆弧。在(-1，j0)点左侧，幅相曲线逆时针、顺时针各穿越负实轴一次，故N+ = N - = 1N = N+ - N - = 0因此，s右半平面的闭环极点数z = p - 2N = 0闭环系统稳定。(b) 因为n = 2，故如图(b)中虚线所示在
10、对数相频特性的低频段曲线上补作2.90的垂线。当w wc时，有L(w) 0，且在此频率范围内，j(w)穿越 -180线一次，且为由上向下穿越，因此N+ =0 ，N - =1N = N+ - N - = -1 于是算得 右半平面的闭环极点数为z = p - 2N = 2系统闭环不稳定。例5-30 已知单位反馈系统的开环传递函数试求系统的相角裕度和幅值裕度。 解 由题给传递函数知，系统的交接频率依次为1，2，10，20。低频段渐近线斜率为-20，且过(1，40dB)点。系统相频特性按下式计算作系统开环对数频率特性于图5-71。由对数幅频渐近特性A(wc) = 1求得wc的近似值为wc = 21.5
11、再用试探法求j(wg) = -180时的相角穿越频率wg，得 wg = 13.1系统的相角裕度和幅值裕度分别为例5-31 对于高阶系统,若要求时域指标为Mp% = 18%，ts = 0.05(s)，试将其转换成频域指标。解 根据经验公式代入题给的时域指标得g = 41.8k = 3.375所求频域指标为g = 41.8，wc =212.1(rad/s)。例5-32 已知单位反馈系统的开环传递函数试判断系统的闭环稳定性。解 开环系统有虚极点s = j2。 系统开环幅相曲线如图5-72所示。由于n =1，从幅相曲线上对应w = 0的点起逆时针补作90且半径为无穷大的虚圆弧。因为存在一对虚极点s = j2，故从w =2- 的对应点起，顺时针补作180且半径为无穷大的虚圆弧。作虚圆弧如图5-72所示。因为p = 0，由开环幅相曲线知N = -1，s右半平面闭环极点的个数z = p -2N = 2闭环系统不稳定。
