一元微积分的应用.doc

《一元微积分的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一元微积分的应用.doc（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第九讲 一元微积分的应用1 函数单调增减性的判别定理：设函数在内恒有（），则在内是单调增的（或单调减的），记为：（或）。注意：个别点处不影响的单调性。例：时，但是应用：一 判别单调性：例1：设函数在连续，。在内可导，单调增，令。证明：在在内单增。证明： （单调增，）； 故在在内单增。二 求单调区间例2：设，求的单减区间。 解：，令； 当时，所以单调减； 当时，所以单调增； 的单减区间为：或者。 三 证明不等式例3：证明：时，证明：令：，则：；，；，；故； 即：。2 函数的极值与最值定义：设函数在的临域内有定义，为该临域内异于的任一点，若恒有（或），则称为的极小值（极大值）。 极大值与极小值统称

2、为极值。使函数取极值的点为极值点。注意：极值的概念是局部性概念，极大值不一定是区间内的最大值；极大值不一定比极小值大。定义：使的解，称为得驻点。 为的驻点，不能 为的极值点； 同样，为的极值点，不能为的驻点。例如：为的驻点，不能 为的极值点； 为的极小值点，不能为的驻点。：（取极值的必要条件）设为的极值，又在处可导，则。：（取极值的充分条件）设在的邻域内可导（在处可以不存在，但必须在处连续），若： ：；：或不存在为的极小值； ：；：或不存在为的极大值； 若在的两侧不变号，则 不是的极值。：设在的邻域内二阶可导，且，。 当时，为的极小值； 当时，为的极大值。极值的求法： 求：求出驻点及使不存在的

3、点，设为； 利用定理2或定理3判别是否为极值点，并判别类型； 求出极值。 最值的求法： 求：求出驻点及使不存在的点，设为； 求出：若在连续，也求出； 比较以上所得函数值的大小，最大者为最大值，最小者为最小值。 例1：设函数在的邻域内连续，且，则在 处， ： （A）不可导 （B）可导但（C）取极大值 （D）取极小值 解： ， 其中 ，故答案为C。例2：设为微分方程的解，则在 处 ： （A）的邻域内单增 （B）的邻域内单减（C）取极大值 （D）取极小值解： 。故为的极小值。故选C。例3：连续，且，则在处， ：（A）取极大值 （B）取极小值（C）为拐点 （D）不取极值也在处不是拐点解： 当时， 在的

4、邻域内，为的极小值。 故选B。例4：设，讨论在处的极值。 解： ，其中。 当时，为偶数时，为的极小值； 当时，为偶数时，为的极大值； 当为奇数时，不保号， 不是的极值；例5：求抛物线到轴上的定点的最短距离。 解： 令： 当时， 为的最小值点，也即的最小值点。 当时， 为的最小值点，也即的最小值点。 3 函数图形的凹凸性及拐点定义：设函数在上有定义，若恒有（或），则在上为凸的（或凹的）。：设函数在上二阶可导，若（或）。则的图形在上为凹的（或凸的）。例：设为连续函数的正函数，令。判别在上的凹凸性。解： （为正函数） 故：的图形在上为凹的。定义：函数的图形凹凸的分界点称为的拐点。：设函数在的邻域内二

5、阶可导，在处可不存在，但必须连续。若在处的邻域内变号，则为拐点；若在处的邻域内不变号，则不是拐点。：设函数在的邻域内三阶可导，且，则为拐点。 4 渐近线一 水平渐近线 设，若或者，则或者称为的水平渐近线。 若极限中含有或者，求时的极限，一定要分别求出和时的极限。 例如： 为的水平渐近线。二 铅直渐近线 设，若或者，或者则为的水平渐近线。 铅直渐近线的求法： 求出使没有定义的点； 由铅直渐近线的定义进行检验。三 斜渐近线 设，若则 为的斜渐近线。 可以看出，若为的有理分式函数，则仅当的分子关于的最高次数比关于的最高次数恰好大于1时，才有斜渐近线。例：求的斜渐近线。解：； ； 故斜渐近线为：。例1

6、：求的渐近线。解：先求水平渐近线： ； ； 和为的水平渐近线。 再求铅直渐近线使没有定义的点为：。；。由上可知：为的斜渐近线。 再看有无斜渐近线，所以没有斜渐近线。 例2：求的斜渐近线。 解：。令代入方程得：； ； ； 故斜渐线为：，即。5 方程根的研究一 方程根的存在性证明方程根的存在性的证明通常是转化为相应函数零值的存在性的证明。证明：用 零值定理；洛尔定理。例1：设在上连续，又。证明：一个，使。证明：不妨设，则：。 ， 由极限的保号定理，一个。当时，； 取一个，使； 同理： ， 由极限的保号定理，一个。当时，； 取一个，使； 可知，在上或者上满足零值定理，故一个，使。二 关于方程根的个数

7、的研究解题程序： 转化为相应函数零值个数的研究； 求。求出驻点和使不存在的点，得出单调区间及极值或最值。 分析的极值或最值与轴的相对位置，有时为了使问题更明朗，还要求出区间端点的极限值。例2：求方程在内实根的个数。 解：；令，则；令；由表可知：在与分别至多有一个零点。可知，在与分别至少有一个零点。在内有两个零点，即方程有两个实根。三 关于方程根的存在唯一性的证明要证明两点： 利用单调性证明相应的函数至多有一个零值； 利用零值定理或洛尔定理证明至少有一个零值。综上所述，命题得证。例1：设在内连续，在内可导，又。证明在内有且仅有一个实根。证明：由拉式定理有：，其中，。又 。 故在内至少有一个零值。

8、又，故在内至多有一个零值。综上所述，在内有且仅有一个实根。例2：设函数在内连续，在内。证明：在内又且仅有一个实根。证明：将在的右侧展成一阶泰勒公式：， 。于是：取，又。可知在上满足零值定理。于是至少存在一个，使。又，。即：，于是。因此在内至多有一个零值。综上所述，命题得证。6 积分元素法（微元法）例1：设有函数，求由该函数与直线及轴所围图形绕轴旋转所得旋转体体积。解： 例2：设有一个半径为的圆盘，其面密度为：，为圆盘上的点到圆心的距离，求圆盘的质量。解：， ； 。例3：设有一个半径为的半球型容器，其中盛满水（水的比重为），先要将水抽干，求外力所需要做的功。解：；。例4：求曲线与轴所围成的封闭图形绕直线旋转所得旋转体体积。 解：；。7 曲线的曲率 曲率圆半径 曲率圆中心，二阶可导，则曲率： ；曲率圆半径：；曲率圆中心8 旋转体体积；。例1：过作抛物线的切线，求由该切线与抛物线及轴所围图形绕轴旋转所得旋转体体积。 解：； 切线方程：，即：。在切线上，其坐标满足方程。；切线：。例2：求由，及直线所围图形绕直线旋转所得旋转体的体积。解：以为新的坐标轴，过与垂直且满足右手系直线为轴。 显然，可以看出将坐标面绕沿逆时针方向转即可得新的坐标系。 新旧坐标的关系： 即 ； 。