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1、等比数列的求和公式 一、 复习目标1.掌握等比数列的求和公式及求和公式的推导。2.会用求和公式求数列中的基本量。3.理解等比数列前项和的最值问题,并能求解。二、学法指导1.等比数列前项和的求解中,应注意适当选择公式使计算简化。2.充分认识数列的性质在求和公式中的应用。三、知识方法概念梳理等比数列的求和公式:,()(1)计算等比数列的前项和应注意对公比是否等于1的问题的讨论。(2)在等比数列中,成等比数列(各项均不为0)。五、典型例题题型一 已知等比数列的前项和,求其基本量例题1. (*)等比数列an的前n项和为,若,则公比q=_解:显然公比,设首项为,则由,得,即,即,即,所以,解得.变式训练
2、: (*)an的前n项和为,若S3S62S9,求数列的公比q;解:若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1。因a10,得S3+S62S9,显然q=1与题设矛盾,故q1。由S3+S6=2S9,得,整理得q3(2q6q31)=0,由q0,得2q6q31=0,从而(2q31)(q31)=0,因q31,故q3=,所以q=。点评:对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式,对应好首项和公比求出最终结果即可。例题2(*)在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于_解:(1)因数列为等比,则,因数列也是等比数列,则变式训练:(*)等比数列an的前n项和为,公比不为1。若a1=1,且对任
3、意的都有,则=_。 解:由条件得,即,解得或(舍去),所以.例3. (*)在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=8且+=2,求a3.解: 方法一 设公比为q,显然q1,an是等比数列,也是等比数列,公比为.由已知条件得,解得aq=4,a=(a1q2)2=4,a3=2.方法二 由已知得:+=2.a=4.a3=2.例题4(课本)(*)已知等比数列的前项和为,且,求数列的通项公式答:小结:平方差公式的运用,两式相除的手法.变式训练1: (*)已知等比数列的前项和为,且,求数列的通项公式变式训练2:(*)已知由正数组成的等比数列,若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11 倍,第3项与第4项之
4、和为第2项与第4项之积的11倍,求数列的通项公式解:设等比数列的公比为当=1时,不符合 当1时, 又,由题意得:,将代入得 方法提炼:分=1,1分类讨论.题型二 等差、等比数列前项和的混合应用例题5: (*)已知等差数列的前5项和为105,且.()求数列的通项公式;()对任意,将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.解:(I)由已知得:解得,所以通项公式为.(II)由,得,即.,是公比为49的等比数列,.例6(*)设为等差数列,为等比数列,分别求及的前10项和.,变式训练:(*)设数列是首项为,公比为的等比数列,它的前前项和为,数列能否成等差数列?若能,求出数列的前项和,若不能,说明理
5、由.分=1,1分类讨论.例题7:(*)已知:数列是等比数列,其中;成等差数列;又数列的前项和 ;求数列的通项公式.解:设的公比为,成等差数列,解得;数列的通项公式为又由数列的前项和 得:当时, ;当时, ; 数列的通项公式为变式训练:(1)(*)若数列是公比为4的等比数列,且,则数列的前项和为_.(2)(*)等比数列的前项和为,已知 成等差数列.求的公比;若求.,(3)(*)设等比数列的公比为,前n项和为,若成等差数列,则的值为_.分=1,1分类讨论.1方法提炼:题型三 已知数列的基本量,求数列的前项和例题8(*)已知数列的前项和为,,则解:,所以由得,整理得,所以,所以数列是以为首项,公比的
6、等比数列,所以例题9:设数列前项和为,数列的前项和为,满足,.(1)求的值;(2)求数列的通项公式.解:(1)当时,。因为,所以,求得。(2)当时, 所以 所以 得 , 所以,即, 求得,则。所以是以3为首项,2为公比的等比数列, 所以, 所以,。方法提炼:变式训练(*):已知数列|an|的前n项和(其中c,k为常数),且a2=4,(1)求;(2)求数列 的前项和. 解:(1)当时,则,c=2.a2=4,即,解得k=2,.当n=1时,综上所述(2) ,则(1)-(2)得题型四:等比数列的前项和公式的常见应用题:例题10:(课本)某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利
7、率3,375%,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷,如果10年还清,那么每月应还贷多少元?答:每月应还贷款2029.66万元.小结:(1)生产部门中有增长率的总产量问题. 例如,第一年产量为,年增长率为,则每年的产量成等比数列,公比为. 其中第年产量为,且过年后总产量为?解:银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存元,利息为,每月利息按复利计算,则每月的元过个月后便成为元. 因此,第2年初共存款;=.分期付款应用题:为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;为年利率.四、课堂检测1. (*)等比数列的前项和为,若_.2. (*)设,则等于_.3.(*
8、) 若是等比数列,前n项和,则_.4. (*)在各项都为正数的等比数列an中,首项a13,前三项和为21,则a3a4a5_.845.(*)等比数列的前项和=_.六、课后作业1. (*)等比数列的前3项的和等于首项的3倍,则该等比数列的公比为_.2. (*)在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于_.3.(*)数列的前项的和为_.4.(* *)设是等差数列的前项和,已知与的等比中项是,与等差中项为1,求数列的通项公式.5. (* *)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9,无穷等比数列各项的和为.求数列的首项和公比;解:()依题意可知:6.(课本 )(* *)利用等比数列前项和的公式证明
9、.其中是不为0的常数,且.左边等于=右边.7.(课本) (*)求数列的前项和.分组求和8. (*)的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上,数列满足条件:,(1)求证:数列是等比数列;(2)设数列,的前n项和分别为,若,求的值.解:(1)依题意 ,(*) , , . 数列是以b1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得,又由(1)中的(*)式得:, , 由,得: 解得:.9.(课本) (*)顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品,在购买一个月后第一次付款,且每月等额付款一次,在购买后的第12个月将贷款全部付清,月利率为0.5%,按复利计算,该顾客每月应付款多少元?答:430元.10.(课本) (*)一个正方形被等分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖掉如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间一个挖掉,得图(2);如此继续下去(1)第三个图中共挖掉多少个正方形;(2)设原正方形边长为,则第个图中被挖掉的所有小正方形的面积和为多少?解:(1)由题意,第三个图中共挖掉1+8+82=73个正方形;(2)第图(1)到第图n被挖掉的正方形的边长组成等比数列,其个数组成等比数列,第个图中被挖掉的所有小正方形的面积和为