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1、等比数列的求和公式 一、 复习目标1.掌握等比数列的求和公式及求和公式的推导。2.会用求和公式求数列中的基本量。3.理解等比数列前项和的最值问题，并能求解。二、学法指导1.等比数列前项和的求解中，应注意适当选择公式使计算简化。2.充分认识数列的性质在求和公式中的应用。三、知识方法概念梳理等比数列的求和公式：，（）（1）计算等比数列的前项和应注意对公比是否等于1的问题的讨论。（2）在等比数列中，成等比数列（各项均不为0）。五、典型例题题型一 已知等比数列的前项和，求其基本量例题1. （*）等比数列an的前n项和为，若，则公比q=_解：显然公比，设首项为，则由，得，即，即，即，所以，解得.变式训练
2、: （*）an的前n项和为，若S3S62S9，求数列的公比q；解：若q=1，则有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因a10，得S3+S62S9，显然q=1与题设矛盾，故q1。由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6q31）=0，由q0，得2q6q31=0，从而（2q31）（q31）=0，因q31，故q3=，所以q=。点评：对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式，对应好首项和公比求出最终结果即可。例题2（*）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列，则等于_解：（1）因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则变式训练：（*）等比数列an的前n项和为，公比不为1。若a1=1，且对任
3、意的都有，则=_。 解:由条件得，即，解得或（舍去），所以.例3. （*）在等比数列an中，a1+a2+a3+a4+a5=8且+=2,求a3.解: 方法一 设公比为q,显然q1,an是等比数列，也是等比数列，公比为.由已知条件得,解得aq=4,a=（a1q2）2=4，a3=2.方法二 由已知得：+=2.a=4.a3=2.例题4（课本）（*）已知等比数列的前项和为，且，求数列的通项公式答：小结：平方差公式的运用，两式相除的手法.变式训练1: （*）已知等比数列的前项和为，且，求数列的通项公式变式训练2：（*）已知由正数组成的等比数列，若前项之和等于它前项中的偶数项之和的11 倍，第3项与第4项之
4、和为第2项与第4项之积的11倍，求数列的通项公式解：设等比数列的公比为当=1时，不符合 当1时， 又，由题意得：，将代入得 方法提炼：分=1,1分类讨论.题型二 等差、等比数列前项和的混合应用例题5: （*）已知等差数列的前5项和为105，且.()求数列的通项公式；()对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.解：(I)由已知得：解得,所以通项公式为.(II)由，得，即.，是公比为49的等比数列，.例6（*）设为等差数列，为等比数列，分别求及的前10项和.,变式训练：（*）设数列是首项为，公比为的等比数列，它的前前项和为，数列能否成等差数列？若能，求出数列的前项和，若不能，说明理
5、由.分=1,1分类讨论.例题7：（*）已知：数列是等比数列，其中；成等差数列；又数列的前项和 ；求数列的通项公式.解：设的公比为，成等差数列，解得；数列的通项公式为又由数列的前项和 得：当时， ；当时， ； 数列的通项公式为变式训练：（1）(*)若数列是公比为4的等比数列，且，则数列的前项和为_.（2）（*）等比数列的前项和为，已知 成等差数列.求的公比；若求.，（3）（*）设等比数列的公比为，前n项和为，若成等差数列，则的值为_.分=1,1分类讨论.1方法提炼:题型三 已知数列的基本量，求数列的前项和例题8（*）已知数列的前项和为，,则解：，所以由得，整理得，所以，所以数列是以为首项，公比的
6、等比数列，所以例题9：设数列前项和为，数列的前项和为，满足，.（1）求的值；（2）求数列的通项公式.解：（1）当时，。因为，所以，求得。（2）当时， 所以 所以 得 ， 所以，即， 求得，则。所以是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以， 所以，。方法提炼：变式训练（*）：已知数列|an|的前n项和（其中c，k为常数），且a2=4，（1）求；（2）求数列 的前项和. 解:(1)当时，则，c=2.a2=4，即，解得k=2，.当n=1时，综上所述(2) ，则（1）-（2）得题型四：等比数列的前项和公式的常见应用题：例题10：(课本)某人2004年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房,月利
7、率3,375%,按复利计算,每月等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷,如果10年还清,那么每月应还贷多少元?答:每月应还贷款2029.66万元.小结:（1）生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为，年增长率为，则每年的产量成等比数列，公比为. 其中第年产量为，且过年后总产量为？解：银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存元，利息为，每月利息按复利计算，则每月的元过个月后便成为元. 因此，第2年初共存款；=.分期付款应用题：为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清；为年利率.四、课堂检测1. （*）等比数列的前项和为，若_.2. （*）设，则等于_.3.（*
8、） 若是等比数列,前n项和,则_.4. （*）在各项都为正数的等比数列an中，首项a13，前三项和为21，则a3a4a5_.845.（*）等比数列的前项和=_.六、课后作业1. （*）等比数列的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为_.2. （*）在等比数列中,前项和为,若数列也是等比数列,则等于_.3.（*）数列的前项的和为_.4.(* *)设是等差数列的前项和，已知与的等比中项是，与等差中项为1，求数列的通项公式.5. (* *)已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为.求数列的首项和公比；解：()依题意可知：6.(课本 )(* *)利用等比数列前项和的公式证明
9、.其中是不为0的常数,且.左边等于=右边.7.(课本) （*）求数列的前项和.分组求和8. （*）的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列，的前n项和分别为，若，求的值.解：（1）依题意 ，（*） ， ， . 数列是以b1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）得，又由（1）中的（*）式得：， ， 由，得： 解得：.9.(课本) （*）顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品,在购买一个月后第一次付款,且每月等额付款一次,在购买后的第12个月将贷款全部付清,月利率为0.5%,按复利计算,该顾客每月应付款多少元?答:430元.10.(课本) （*）一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间一个挖掉，得图（2）；如此继续下去（1）第三个图中共挖掉多少个正方形；（2）设原正方形边长为，则第个图中被挖掉的所有小正方形的面积和为多少？解：（1）由题意，第三个图中共挖掉1+8+82=73个正方形；（2）第图（1）到第图n被挖掉的正方形的边长组成等比数列，其个数组成等比数列，第个图中被挖掉的所有小正方形的面积和为
