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1、绪论几何的起源与欧几里得几何体系1几何的起源与演进1 几何的起源与演进 众所周知，数学的研究对象归根结蒂是客观世界的数量关系和空间形式研究空间形式，是通过对空间形式的抽象几何图形的研究而进行的研究的目的，在于认识几何图形的形状、大小和位置关系等方面的内部规律，用以满足指导生活与生产上的需要和其它科学以及数学的其它分支一样，作为研究几何图形的科学几何学，也是随着生活与生产的发展而逐步发展起来的：从抽象的几何图形的产生；到根据经验归纳出的、对几何图形内部规律的初步认识；再到从理论上对几何图形内部规律的论证，并形成理论体系；再到不同的几何学各分支的建立，等等在这里，对初等几何学的起源与演进，作一简要
2、的概述一、归纳经验的几何几何图形的产生年代，已不可考从出土的考古资料可知，至少在十万年前，在器皿上已出现了几何图形的花纹；某些器皿、工具也都呈现了几何形状公元前二千年夏禹治水时，相传是以规、矩等绘制几何图形的工具，并经过了测量、设计工作，虽然这只是传说，但以偌大的水利工程而论，这种传说还是可信的更何况在殷代的甲骨文(至少是公元前12世纪的文件)中，已有了“规”、“矩”二字；在反映周代天文的周髀算经一书中，已明确了矩(相当于直角三角)在测量中的作用，指出了今日所说的勾股定理在西方，从现存的古埃及、巴比伦等国的史料可以看出，在天文、测量中也大量地反映了几何图形的知识据历史学家的考据，今日西方各国的
3、“几何学”一词，如英文中的“Geometry”等，来源于希腊文而此希腊文的原意是“测地术”它反映的是，当时埃及的尼罗河每年泛滥而冲毁地界，事后必重新丈量土地，从而产生了测量土地的几何图形大小的测量法确实，在现存的古埃及数学的纸草纸书中，记载了一系列的简单平面几何图形的面积计算公式此外，还记载有计算容积、计算土方的公式等很明显，几何知识是由天文、测地、求积等需要而产生的以当时社会状况而论，研究天文、测地、求积，基本上为的是农业的需要因此，几何知识也确是来源于生产实践又用于生产实践的由于在这些史料中，对总结出的几何知识的真实性都未作推理证明；某些计算公式只是近似的，并不精确；直至公元前7世纪的史料
4、中，才见有对几何知识的推理证明，因而在公元7世纪以前，可以说是单纯地由经验积累，通过归纳而产生几何知识的阶段二、初步的推理几何由现存的史料可知，在公元前7世纪，对几何知识开始了逻辑推理的论证，当然是初步的，也就是说从经验和已有的几何知识出发，按照逻辑的要求，对某一项几何知识进行推理论证作为代表人物，首先是古希腊的泰勒斯(Thales，约公元前64年)如，“对顶角相等”、“等腰三角形的底角相等”、“半圆的内接角是直角”等，这些定理都是他首先提出，并作了推理论证的其次是古希腊的毕达格拉斯(Pythagoras，约公元前530年)如，“三角形内角和等于二直角”、“勾股定理”、“只有五种正多面体存在”
5、等定理都是由毕达格拉斯学派(毕达格拉斯创立学校，形成毕达格拉斯学派这个学派将所有发现都归功于毕达格拉斯，因而很难知道哪个定理是毕达格拉斯本人提出的)首先提出，并作了推理论证的(勾股定理最早虽然是我国提出的，但未见推理论证在西方，则首先由毕达格拉斯学派提出，并作了推理论证)古希腊的柏拉图(Plato，公元前427347年)，虽然他主要是哲学家，着重研究逻辑，但在他所设的学校门口写着：“不懂几何的人不得入内”这说明了逻辑推理用于几何知识的论证程度由于逻辑推理的运用必须从定义出发，因而可知此时的几何知识，也必定进入概念化的阶段了我国最早的论述科学的书籍之一墨经中(约成书于公元前4世纪)，便载有几何上
6、的定义，如，平行线(平面)的定义是：“平，同高也”圆的定义是：“圜，一中同长也”等等但是，直至公元前4世纪，还未见有按照逻辑要求编排的、系统的几何书籍出现因而在公元前4世纪前，可以说几何的研究进入到了初步的推理几何阶段三、系统的推理几何欧几里得原本的编成作为系统的推理几何的标志，就是众所周知的、古希腊欧几里得(Euclid，约公元前300年)所著的原本一书的出现原本中，除少量的数论知识外，大部分都是几何知识的内容这些几何知识的内容是前人提出的，而由欧几里得汇集在一起，按逻辑要求的顺序、前因后果地进行了编排；并先提出定义和公理，而后在这基础上，对各项知识都作了推理论证原本可以说是历史上第一部按逻
7、辑的要求编成的、系统的推理几何的书籍，也是历史上第一部按逻辑的要求编成的、系统的数学书籍1原本中几何知识的大体内容第一卷首先提出23个定义、5项公设(几何方面的公理)、10项公理(数量关系方面的公理)，而后提出48个命题(今日几何书中的定理和问题，在原本中统称命题 )及其论述命题中含有三角形(全等，边角关系)、垂直线和平行线、平行四边形、多边形的面积、勾股等定理其中的定义举例如下：(1)点是无大小的(2)线是有长无宽的(3)线之界(端)是点(4)直线是与其上的点看齐的线(5)面是只有长和宽的(6)面之界是线(7)平面是与其上的直线看齐的面(8)平面角是平面上两相交直线的倾斜度(15)圆是包含在
8、一线里的那种平面图形，使得从其内某一点连到该线的所有点的直线都相等(23)平行直线是同一平面内，往两个方向无限延长后，在两个方向上都不会相交的直线其中的公设是：从每一点到另一点可引直线每一直线都可以无限延长以任一点为中心可用任意半径作圆凡直角皆相等一条直线与二直线相截，如果截出的某一侧的两内角的和小于二直角，此二直线必相交，且交于同侧两内角和小于二直角的那一侧其中的公理举例如下：等于同量的量相等等量加等量其和相等不等量加等量其和仍不等全量大于分量两直线不能包围平面的一部分(据考证，公理是后人添加的。 ).第二卷由14个命题组成包含论线段计算的恒等式、黄金分割(中外比)、勾股定理推广等定理第三卷
9、由37个命题组成包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂等定理第四卷由16个命题组成包含圆的内接和外切多边形的性质及正5、6、10边形的作图等第五卷由25个命题组成内容为欧多克索斯(Eudoxus，古希腊，约公元前400年)的比例论第六卷由33个命题组成包含平行截割定理、三角形的平分角线定理、相似三角形定理、比例线段的作图等(第七一九卷数论初步)第十卷由117个命题组成内容为论不可公度的量、与整数开平方的有关的几何运算等第十一十三卷(立体几何)分别由40、18、19个命题组成包含直线与平面的相关位置、多面角、棱柱体、相似体体积之比及正多面体等定理2原本的主要特点(1)突出的特点是有史以来，按
10、逻辑要求编成的、反映公理法的第一部演绎体系的数学书不以数表示量的大小凡涉及度量问题，如线段、面积等的大小问题时，均只论及等于、大于、小于的关系更突出的是关于比例的定义，和今日几何书上通常的定义不同(当然等价)用今日符号写出当时的比例定义就是：如果p，q是两个同类量；p，q是两个同类量(不必与p，q，q就叫做成比例的量，记作pq=pq不以“平行线唯一”的形式表达平行公理，而表之以公设(2)对后世的突出作用成为公认的、历史上第一部巨大的科学典籍奠定了数学这门科学必须依照逻辑要求论述其规律的基础；是公理法的开端反映出欧几里得及当时数学水平已达到的高度，尤其是对某些问题的处理如引进了欧多克索斯的比例定
11、义原来虽然已明确了不可公度量的存在，但数的概念尚未发展到无理数的阶段当一单位线段与一线段无公度时，对该线段的长度还解释不了因而，如果以今日的处理办法来定义比例线段，作为基础的两线段之比的定义，便不能完整地刻划出来欧几里得选取了欧多克索斯的比例定义，既保持了定义的完整性，避开了尚属存疑的“漏洞”；而且也保持了与今日定义的等价性是较长时期以来，用以培养学生的逻辑推理能力的典型课本(3)较突出的缺点以今日的眼光看来，原本还是有不少缺点的，较突出的有：原本中有些定义模糊不清，用了未经定义的概念，如“界”、“长”、“宽”、“看齐”等因而起不到逻辑上的作用实际上，在后文中也没有明白地利用这些，列出这些只是
12、对几何形象的描写就是了至于作为一般定义基础的、由公理制约的基本概念，在原本中就更没有划分出来了原本中所提出的公设和公理，在逻辑上虽然都是必要的，但是并不够因而在后文论证定理时，有些论据只是靠直观、经验了四、新欧几里得几何原本的编成公元1794年法国数学家勒让德(Legendre，17521833)就着原本中的几何部分作了较大的修改，编成了新欧几里得几何原本其主要特点是：1把原本中的非几何部分去掉，重新整理、编排；并把“命题”中的定理和问题截然分清了2加入了非负实数轴，从而把以数表量的内容纳入了几何3把原本中的比例部分，改用了今日课本中的处理办法(今日的处理办法，实即由该书沿袭下来的)4把原本中的第V公设，换成和它等价的、由普雷菲尔(Playfair，17481819)提出的平行公理，即沿袭至今日课本中平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线，和原直线平行这本书出现后，便成了此后直至今日的、多数初等几何课本的蓝本了注几何原本之名，最早出现在我国公元1607年，徐光启(15621633)与传教士利马窦(MatteoRicci，15521610)合译了原本的前6卷，便定名为几何原本在西方，几何原本之名，则从勒让德的书开始
