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1、wordDSMC方法中分子碰撞的计算摘要DSMC方法是依赖物理的概率模拟方法。从宏观参量到细观速度分布函数的水平上，该方法均能得到实验的支持。经过30多年的开展,DSMC方法在航天、真空系统等离子体材料加工、微电子刻蚀、微机电系统、化工等21世纪高技术开展的前沿领域获得了广泛的应用。DSMC方法通常用有限个模拟分子代替大量真实气体分子，通过随机抽样并跟踪模拟分子轨迹实现求解真实气体流动问题。其主要特点是模拟分子的迁移运动与碰撞解耦。本文主要从分子碰撞模型、分子碰撞的计算两方面详细阐述先关研究进展。1. 引言DSMC方法通常称试验粒子为模拟分子或模拟粒子，它的根本做法可表述为：用有限个模拟分子代
2、替大量的真实气体分子，通过随机抽样模拟分子并跟踪模拟分子的运动轨迹来达到求解真实气体流动问题的目的。DSMC方法的主要特点在于将模拟分子的迁移运动与碰撞作用解耦处理。在每个时间步长内，首先认为每个模拟分子作匀速直线运动得到新的位置坐标，如果模拟分子与边界发生相互作用如此进展相应处理；然后计算模拟分子之间的碰撞。DSMC方法采用几率论而不是决定论的方法计算模拟分子间的碰撞，因而能够大大减少计算时间。整个计算是一个时间过程，从非定常向定常开展。最后对各模拟分子的物理量统计平均得到所需的宏观流动参量。2. 分子碰撞模型的研究进展2.1 分子碰撞模型的研究DSMC方法中，最简单的分子模型是硬球模型，它
3、由Bird于1976年提出，随后，还提出了逆幂律分子模型以与Maxwell分子模型。由于真实气体流动条件下，分子的碰撞截面是随着相对速度而改变的，这样才能保证与温度T的关系与实际气体中一致。而上述任何一种分子模型都不同时具有有限的碰撞截面又能实现粘性与温度的依赖关系，为此，Bird提出了变径硬球模型Variable Hard Sphere，简称VHS，在此模型假设下，分子具有和硬球一样的均匀散射几率，但它的碰撞截面像逆幂律分子一样是分子间相对速度的函数，这样导出的粘性系数随温度的一定幂次变化，满足真实气体所表现出来的规律。但由于VHS模型没有考虑气体分子的散射非对称性，这导致在考虑多组元混合气
4、体中扩散起重要作用的情况下，VHS模型会给出与实际偏离较大的结果。Koura和Matsumoto提出了变径软球模型Variable Soft Sphe简称VSS，克制了VHS模型的这一缺陷。虽然VHS与VSS模型用逆幂率作用势取代了硬球分子，但它用单纯的排斥力来描述分子间的作用。对于再入流场，温度变化很大，粘性对温度的依赖靠一个方幂已不能完全描述。分子间的相互作用，除了近距离的排斥力外在较大分子间距处吸引力也显现出来。为了在DSMC模拟中能够同时再现分子间的排斥与吸引的作用势，Hassan和Hash提出了概念化硬球模型GHS，是对VHS模型和VSS模型概念的一种推广，包含了同时具有吸引和排斥的
5、分子间作用力。它的散射率与硬球模型一样，但其总碰撞截面与碰撞中的相对动能反映出了吸引排斥作用势。结合VSS模型的散射率与GHS的碰撞面，文献建议了概念化软球模型Generalized Soft Sphere，简称GSS。用GSS模型计算出的粘性系数、自扩散系数和扩散系数在整个温度变化X围给出与实验数据相符很好的结果。而VHS，VSS与GHS模型在低温和过高温度下如此与实验数据有一定的差距，GSS模型在低温和极性分子的情况下是特别有意义的。文献在前人根底上，提出了GSS-3分子碰撞模型，能够给出正确的气体输运性质。2.2 碰撞抽样几率函数的研究在气体分子碰撞对的抽样方面，Bird首先提出了“时间
6、计数器方法TC，该方法具有较高的效率而且同时保证了在较大网格分子数下正确的碰撞频率。但在极度非平衡的情况下，如强激波的前缘问题，由于碰撞概率与网格推进的时间关系，偶然中选但具有很小几率的碰撞，即较小的，会使网格推进的时间过大，导致计算碰撞对的减少，从而使碰撞频率发生畸变。Koura给出了“零碰撞方法，可以克制TC方法的这一缺陷且不消耗较多的时间，但是不利于计算机的向量化计算。Bird建议的非时间计数器法NTC在保持了TC法效率的同时，克制了TC法中的困难，并且可以在程序碰撞过程开始之前事先算出网格单元内的碰撞数，而且使得DSMC方法能够实现向量化计算，所以这种方法在今天被广泛的应用。2.3 内
7、能激发与化学反响模拟的研究DSMC模拟中，一般采用Larsen-BergnakkeL-B模型模拟分子在碰撞中能量的交换与分配，保证内能的激发和松弛速率与实验所给出的结果一致。但是由于振动自由度为温度的函数，在采用模型分配碰撞中的各种能量时存在奇异性，因此文献开展了一种推广的积累分布取舍联合抽样法，给出了有单奇异和双奇异性分布的抽样方法，克制了L-B模型的困难。在DSMC方法的模拟中，化学反响通常是与分子内自由度松弛过程耦合在一起的。Bird认为分子与分子碰撞时，以一定的几率发生化学反响，并提出了处理化学反响的位阻因子概念，其值代表了弹性碰撞导致化学反响的几率。通常引入反响截面与碰撞截面的比值表
8、示弹性碰撞导致化学反响发生的几率。文献建议了一个依赖空间取向的化学反响模型，它从一个双原子分子和另一个粒子发生碰撞导致其化学键断裂而产生离解或交换反响的微观判据出发，得到了化学反响速率常数的表达。3. DSMC中碰撞的数值计算方法3.1 仿真分子碰撞对抽样方法1Bird的Time-Counter方法由分子气体动力学可知同组元气体的分子平均碰撞频率为式中符号“表示平均值。上式明确对于两个特定的气体分子，它们可能发生碰撞的几率与分子对碰撞截面和相对运动速率的乘积成正比，亦即因而网格单元内模拟分子对的碰撞几率函数可表示成于是对应于硬球分子模型，抽样几率函数的表达形式为，对应于负幂率分子模型，表达形式
9、为。另一方面，还可得到在时间步长内各网格单元中模拟分子间应发生的碰撞次数的表达式为式中是网格单元中模拟分子的总数目，是网格内气体分子的数密度，因子是由于每次碰撞都有两个分子参加而得到的权因子。对于硬球分子模型，为常数，的计算式为 对于负幂律模型，的计算式为如果按照上述表达式中的任何一式计算，都势必需要计算一个以气体分子相对运动速度为自变量的函数的平均值。由于计算这些平均值所需的计算机时是与单元内所具有的分子数的平方成正比，因而需要消耗大量机时。为了解决这一困难，Bird提出了Time-Counter Scheme，即所谓的“超前时间累加方法。这个方法是在每个单元内设置一个计时器，当模拟分子在网
10、格单元内发生了一次碰撞，就在计时器上累加一个“超前时间。对于不同的分子作用势模型，“超前时间的计算式也各不一样，对于硬球分子和负幂律分子，的计算式分别为一旦计时器的累加时间大于，亦即，就停止该网格单元内模拟分子的碰撞计算。2No Time Counter (NTC)抽样方法在DSMC中，TC方法具有较高的效率同时保证了在较大网格分子数下正确的碰撞频率，但在极度非平衡的情况下，如强激波的前缘问题，由于碰撞概率与网格推进的时间关系，偶然中选但具有很小几率的碰撞，即较小的，会使网格推进的时间过大，导致计算碰撞对的减少，从而使碰撞频率发生畸变。Bird 建议的NTC法在保持了TC法效率的同时，又克制了
11、TC法中的困难，并且可以在程序碰撞过程开始之前事先算出网格单元内的碰撞数，这里介绍一下NTC法的思想。考虑体积为的网格单元，每一个模拟分子所代表的真实分子数为，在时间内组成碰撞对的两个分子发生碰撞的几率等于碰撞截面以相对速度扫过的体积与网格体积之比，即在上式中，随碰撞对的选择变化，是的函数，其它量不依赖于碰撞对的选择。由于网格单元内的真实分子数是，平均模拟分子数，因此在DSMC中，通过式(2.9)需要计算网格内可能碰撞对的数目为。由于碰撞几率在一般情况下是非常小的量，碰撞数几乎正比于网格中分子数的平方，因此如果按的计算式逐个考察所有个碰撞对，如此计算效率必定非常低。为了提高效率 Bird 建议
12、仅需考虑所有碰撞对的一局部并同时将按一样的分数加以放大，如果该分数能够使最大的概率为1如此计算效率为最高，因此理想的分数即为最大碰撞概率通过与的乘积可以得到所需考察的碰撞对数。然而在多数情况下网格单元数是波动量，由于平方的平均不同于平均的平方，因此应当被瞬时量与时间平均或系统平均的乘积代替。由以上讨论可得NTC方法中需要考察的分子碰撞对数与碰撞几率的表达式该方法到多组元混合气体的推广是直接简单的，在混合气体中，网格单元内组元与组元碰撞需要考察的数量与碰撞几率分别为3.2 碰撞计算由于在碰撞过程中不存在外力，碰撞的双分子体系遵循质量、动量和能量守恒定律。记为分子和分子的简并质量，为碰撞分子的相对
13、运动速度，为碰撞分子的质心速度，如此根据质量和动量守恒定律有其中上标“表示碰撞后的物理量。可见气体分子间无论发生何种类型的碰撞，分子体系的质心速度都将保持不变。无反响碰撞分子的能量守恒方程为其中为碰撞分子的相对平动动能。从上式可见，如果碰撞分子之间不发生化学反响，分子能量仅在相对平动能与分子内能之间传递。记为碰撞后分子相对运动速度的方向单位矢量，由于相对运动速率可由能量守恒方程确定得到，于是只需确定。考虑到分子碰撞的随机性之后，Bird根据所提出的“可变硬球模型构造了确定的方法为其中，和为Euler角，由随机抽样确定。其抽样方法为式中，、为随机数。由此可见Bird散射模型是一种球对称模型，认为
14、相对运动速度方向是以球对称形式散射的。由能量守恒方程可确定得到碰撞后分子相对运动速度的模值，然后抽样得到相对运动速度的方向矢量，于是可得碰撞后单个分子的运动速度为3.3 分子碰撞中能量的交换在DSMC中，处理分子碰撞中能量交换的常用模型是由Larsen和Bergnakke引入的唯象论模型。其中心思想是假设碰撞中的相对平动能和内能遵守能量守恒，碰撞后的内能按照动能和内能组合的平衡分布取值，而能量松弛过程的速率通过调节弹性碰撞和非弹性碰撞的比例加以确定，使其满足实验的结果。这里给出混合气体中不同组分的分子间Larsen-Bergnakke模型在 VHS 或 VSS 模型下的实现过程。在混合气体中组
15、分1与组分2碰撞对的总内能为组分1和组分2的内能分布函数满足组分1的内能到，组分2的内能到的比分为先固定，此时，对从0积分到得到总内能从到的比分正比于如果对于不同组分可以定义出一个粘性系数的温度幂指数，如此碰撞中的平动能的分布函数可以写为由上述方程可以得到在碰撞中的总能量中平动能的分布函数正比于，由于由所决定，因此为常数，所以指数项是常数，碰撞中的平动能分布正比于在碰撞中总能量保持不变。在非弹性碰撞中，碰撞后的平动能量和内能从下式用取舍法进展取样碰撞后的内能在两个分子间的分布按照下式用取舍法进展取样在上式讨论中，假定了内能包括所有的内能模式。实际上可以对各个模式的内能依次与碰撞中的平动能用L-B模型进展重新分配，结果与所有内能模式一起与碰撞平动能进展再分配是一样的。参考文献1 黄飞，靳旭红，赵波，程晓丽，沈清. 大尺度网格下 DSMC 仿真碰撞概率的修正方法. 计算力学学报，2015，1: 21-26.2 任兵，石于中. 求解化学非平衡驻点线流动的分子碰撞传能模式的DSMC研究. 高科技研究中的数值计算学术交流会，1995.3 黄飞，程晓丽，沈清. 一种基于自适应碰撞距离的DSMC虚拟子网格方法. 全国流体力学数值方法研讨会，2013，506-510.4 Bird, G. A. Approach to translational equilibriu
