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1、第5章 正弦稳态电路分析任务模块：荧光灯照明电路的分析荧光灯照明电路主要由灯管、镇流器、启动器等元件组成，如图5-1所示。1主要元件及作用（1）灯管 荧光灯灯管的两端各有一个灯丝，灯管内充有微量的氩和稀薄的汞蒸汽，灯管内壁上涂有荧光粉。两个灯丝之间的气体导电时发出紫外线，使涂在管壁上的荧光粉发出柔和的可见光。（2）镇流器 是一个带铁心的线圈，自感系数很大。当电路断开时能产生瞬时高压，加在灯管两端，使灯管中的气体放电，荧光灯开始发光；在荧光灯正常发光时，由于交变电流通过镇流器的线圈，线圈中产生自感电动势，总是阻碍电流的变化，起着降压限流的作用，保证荧光灯的正常工作。（3）启动器 主要是一个充有氖
2、气的小玻璃泡，里面装有两个电极，一个是静触片，另一个是由两个膨胀系数不同的金属制成的U型动触片。2电路工作原理电源开关闭合，荧光灯电路通电，由电路图可知，灯管内两灯丝之间、启动器氖泡内两电极之间加上了电压，由于灯管内汞蒸汽导电所需电压较高，氖泡内氖气导电所需电压较低，此时只有氖气导电，发出辉光，使金属片温度升高，由于双金属片的膨胀程度不同，致使U形片伸开，与静触片接触，电路导通，电路中形成较强的电流(由电源电压和两灯丝电阻决定)；氖泡中两电极之间无电压，氖气不发光，氖泡内温度下降，U形电极形变，两电极断开，此时由于电路中镇流器的存在，产生自感，镇流器就产生一个与原来电压方向相同的较高的电动势，
3、再加上此时灯丝还接在电源，这样自感电动势加上电源电压形成一个高电压加在灯管两端使汞蒸汽导电，发出不可见的紫外线，紫外线使管壁上的荥光粉发光。由于电路中通过的是交流电，镇流器的自感作用就起着阻碍电流的作用，使灯丝上的电流和灯管中的电流维持在正常的范围内。此时由于管内汞蒸气已经导通，启动器就相当于和灯管并联，它的通断对镇流器的自感基本没有影响。本章内容简介本章介绍正弦交流电路的分析方法，其主要内容有：正弦量基本概念及相量表示法，正弦交流电路中基本元件的特性，RLC串、并联电路的分析，一般正弦交流电路的分析方法，正弦交流电路的功率、功率因数等。重点和难点 阻抗和导纳，正弦稳态电路的电压、电流和功率分
4、析，相量表示法等。5.1 正弦电压与电流实际应用中，交流电比直流电具有更广泛的应用。大小和方向均随时间按一定规律变化的电压或电流，称为交变电压或电流，简称交流电。交流电压或电流随时间变化，它在任一时刻的数值称为瞬时值，用小写字母u或i表示。交流电路中应用最广泛的是正弦交流电。大小和方向均随时间按正弦规律变化的电压或电流称为正弦交流电，而正弦电压、正弦电流统称为正弦量（或正弦信号）。5.1.1 正弦信号的三要素正弦信号可以用波形图和函数表达式（解析式）来表示。波形图如图5-2所示。由上述正弦信号的表示方式可知它是时间t的函数，数值有正有负，其特征表现为大小、变化的快慢、初始值三个方面，这三个方面
5、分别由幅值、角频率、初相位来确定。因此，幅值、角频率、初相位称为正弦信号的三要素。知道了这三个要素就可确定一个正弦信号。1最大值（幅值）幅值反映了正弦信号变化的幅度，为正弦信号瞬时值中的最大值，即正弦信号的振幅。幅值用大写字母加下标m来表示，如Um、Im。2周期、频率和角频率周期、频率和角频率反映了正弦信号变化的快慢。正弦信号循环一次所需要的时间称为它的周期，用T表示（见图5-2），国际单位制为秒(s)。单位时间内正弦信号变化的循环次数称为它的频率，用f表示，国际单位制为赫兹（Hz）。频率是周期的倒数，即 （5-1）我国电力系统用的交流电的频率(工频)为50Hz。正弦电流每经过一个周期T，对应
6、的角度变化了2弧度，所以 （5-2）式中，为角频率，表示正弦信号在单位时间内变化的角度，国际单位制为弧度/秒（Rad/s）。 3相位与初相位在正弦信号的表达式中，随时间变化，称为正弦信号的相位，它描述了正弦信号变化的进程或状态。为t=0时刻的相位，称为初相位（初相角），简称初相，习惯上取-180180。图5-3a、b分别表示初相位为正和负值时正弦电流的波形图。正弦信号的初相位的大小与所选的计时时间起点有关，计时起点选择不同，初相位就不同。当研究一个正弦信号时，有时可选用=0，则此时的称为参考正弦信号。例5-1 已知一正弦电流i的Im=10A，f =50Hz，=60，求电流i 的瞬时值表达式。解
7、： = 2 f =23.1450 Rad/s =314Rad/s所以 i=10sin(314t+60) A5.1.2 正弦信号的相位差在正弦交流电路分析中，正弦信号之间经常要相互比较。同一电路的正弦信号频率相同，除了比较大小，还要比较相位。两个同频率的正弦信号的相位之差称为相位差。例如，图5-4所示任意两个同频率的正弦电流为 其相位差是 （5-3）由此可知，两个同频率正弦量的相位差等于它们初相位之差，与时间t无关。习惯上取12180。相位差情况有如下几种：1）若120时，称i1 比i2超前12角度或称i2 比i1滞后12角度。2）若120时，称i1 比i2滞后12角度或称i2 比i1超前12角
8、度。3）若12=0时，称i1与i2同相，如图5-5a所示。4）若12=时，称i1与i2反相，如图5-5b所示。5）若12=/2时，称i1与i2正交，如图5-5C所示。例5-2 已知两正弦电压 V V求两者的相位差。解：已知、，则 即比超前120，或比滞后120。5.1.3 正弦信号的最大值、有效值和平均值的关系1有效值及其与最大值的关系由于瞬时值是随时间变化，在实际应用中常用有效值表征正弦信号大小。交流电的有效值是根据它的热效应来确定的。有效值定义如下：若在一个周期时间T内，正弦交流电流i在电阻R所产生的热能与流过电阻R的直流电流I所产生的热能相等，则此直流电流的电流值I为此周期性电流的有效值
9、。 周期性电流i流过电阻R，在时间T内，电流i所产生的能量为 直流电流I流过电阻R在时间T内所产生的能量为当两个电流在一个周期T内所作的功相等时，有，即于是得上式就是周期性电流i的有效值的定义式。同理，周期性电压u的有效值的定义式为对正弦电流，则有 （5-4） 同理可得 （5-5） 有效值用大写字母来表示，如U、I。在工程上凡谈到正弦电压或电流等量值时，若无特殊说明，总是指有效值，一般电气设备铭牌上所标明的额定电压和电流值都是指有效值，例如“220V，60W”的灯泡是指额定电压的有效值为220V。大多数交流电压表和电流表都是测量有效值。但是电气设备耐压的则要按最大值考虑。2平均值及其与最大值的
10、关系对于周期性交流电，工程上也常用到平均值，交变电流的平均值是指在某段时间内流过电路的总电荷与该段时间的比值。一个周期内的交变量的平均值为零，通常规定：交流量的平均值是指零点开始半个周期内的平均值，因此有周期性交流电的平均值将正弦电流代入上式，可得正弦信号的平均值为 （5-6）同理 （5-7）思考与练习5-1-1 已知正弦电压V，试指出它的幅值、有效值、频率、周期、角频率及初相位各是多少？5-1-2 已知A、A，试问与的相位差等于多少？在相位比较上，谁超前，谁滞后？5.2 正弦信号的相量表示法我们知道，一个正弦信号可以用三角函数式表示，也可以用正弦曲线表示。但是用这两种方法进行正弦信号的计算是
11、很繁琐的，有必要研究如何简化。相量法就是用复数来表示正弦信号。使正弦交流电路的稳态分析与计算转化为复数运算的一种方法。5.2.1 相量表示1复数（1）复数的几种形式 一个复数可以用多种形式来表示：1）代数形式：。2）三角函数形式：。3）指数形式：（利用欧拉公式ej=Cos+jsin）。4）极坐标形式：。上式中，称为复数A的实部，称为复数A的虚部，R称为复数A的模，称为复数A的辐角，其中、。注意：在电工学中，为避免与电流i混淆，选用j表示虚单位，。另外，可以把复数在复平面内表示，即复数对应的复相量，如图5-6所示，复数A的模为有向线段OA的长度，辐角为有向线段OA与实轴的夹角。例5-3 试写出复
12、数5+j5的三角函数式、指数式和极坐标式。解：复数的模复数的辐角则三角函数式为，指数式为，极坐标式为。（2）复数的加减运算 复数相加（或相减），采用复数的代数形式进行，即实部和实部相加（或相减），虚部和虚部相加（或相减）。如两个复数： 复数相加减也可以在复平面上进行。容易证明：两个复数相加的运算在复平面上是符合平行四边形的求和法则的；两个复数相减时，可先作出（-2）矢量，然后把1+（-2）用平行四边形法则相加。如图5-7所示。例5-4 已知复数，求。解： （3）复数的乘除运算 复数相乘（或相除），采用复数的指数形式或极坐标形式进行，即复数相乘时，模相乘，辐角相加；复数相除，模相除，辐角相减。如
13、两个复数： 例5-5 已知复数，求和。解： 则 2用复数表示正弦量正弦量 可以写作 （5-8）式中，复数。式（5-8）中，是取复数的虚数部分的意思，符号是虚数的缩写。式子表明，正弦电压u等于复数函数的虚部，该复数函数包含了正弦量的三要素，而其中复数的常数部分是包含了正弦量的有效值U和初相角的复数，这种复数称为正弦量的相量，并用符号表示，上面的小圆点是用来表示相量。则 （5-9）简写为 （5-10）用相量表示正弦量时，必须把正弦量和相量加以区分。正弦量是时间的函数，而相量只包含了正弦量的有效值和初相位，它只能代表正弦量，而并不等于正弦量，正弦量和相量之间存在着一一对应关系。给定了正弦量，可以得出表示它的相量；反之，由已知的相量，可以写出所代表它的正弦量。例5-6 已知两同频率的正弦量V，A，试写出正弦量u、i对应的相量表示式。解： VA 相量图如图5-8所示。例5-7 工频条件下，两正弦量对应的相量分别为V，A，试写出这两个正弦量的解析式。 解： =2 f =250 Rad/s =314 Rad/s V A5.2.2 相量图及应用相量和复数一样，可以在复平面上用矢量表示，这种表示相量的图，称为相量图。正弦量对应的相量为，其相量图如图5-
