《有关线性代数矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《有关线性代数矩阵问题的解题技巧及在考研中的应用.doc（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、线数考研I第一章 前 言1第二章 几种矩阵的判定和应用12.1逆矩阵12.1.1阶矩阵可逆的定义12.1.2逆矩阵的性质12.1.3矩阵可逆的条件22.1.4求逆矩阵的方法22.1.5求逆矩阵的例子32.2伴随矩阵62.2.1伴随矩阵的定义62.2.2伴随矩阵的性质62.2.3有关伴随矩阵的例子62.3对角矩阵72.3.1可对角化矩阵的定义72.3.2对角化矩阵判定条件和方法72.3.3有关可对角化矩阵的例子82.4正交矩阵112.4.1正交矩阵的定义112.4.2正交矩阵的性质122.4.3正交矩阵的例子122.5实对称矩阵132.5.1实对称矩阵的定义132.5.2实对称矩阵的性质132.
2、5.3实对称矩阵正交相似于对角矩阵的计算方法：132.5.4有关实对称矩阵的例子142.6正定矩阵162.6.1正定矩阵的定义162.6.2正定矩阵的判定条件162.6.3正定矩阵的性质172.6.4正定矩阵的判定方法172.6.5有关正定矩阵的例题17第三章 矩阵与矩阵之间的关系和应用213.1矩阵合同213.1.1合同矩阵的定义213.1.2合同矩阵的性质和有关结论213.1.3矩阵合同的判定和证明223.1.4有关合同矩阵的例题223.2矩阵相似243.2.1相似矩阵的定义243.2.2相似矩阵的性质243.2.3相似矩阵的判定方法243.2.4有关相似矩阵的例子253.3矩阵等价263
3、.3.1矩阵等价的定义263.3.2矩阵等价的定理和性质273.3.3有关矩阵等价的例子27结束语29致谢29参考文献30第一章 前 言第一章 前 言随着改革开放和现代化建设事业的需要，特别是“科教兴国”、“知识经济”等战略性措施日益广泛实施，国家机关、企事业单位以及各行各业对高素质、高学历人才的需求量越来越大。同时，随着高等教育的大众化，本科人才越来越多，相当一部分大学毕业生找不到理想工作，很多人希望取得更高的学历，以增强自己的竞争实力，因此，近年来，“考研热”持续升温。研究生入学考试现已成为国内影响最大、参加人数最多的国家级选拔高层次人才的水平考试。然而研究生入学考试与在校大学生的期中或期
4、末考试相比，其深度、广度与难度大大增加，试题综合性强，着重知识的运用，竞争激烈，淘汰率高。同时，考研作为一种选拔性水平考试，试题规范，规律性很强，不少题型反复出现，把这些反复出现的试题整理归类，以节省考生宝贵的复习时间，对考生迎考大有帮助。高等代数是数学类专业的一门重要的基础课，也是数学系硕士研究生入学考试的一门必考科目，矩阵问题在数学系硕士研究生入学考试数学试题中占有相当大的比例。而矩阵不仅是代数学的一个主要研究对象，也是高等代数的很多分支研究问题的工具，它贯穿了整个高等代数的内容。为了帮助考生加深对矩阵知识的理解，掌握有关矩阵问题的解题方法和技巧，提高应试能力，本论文总结了有关矩阵的概念、
5、定理，矩阵与矩阵的关系、性质和解题的技巧方法，列举出数学考研有关矩阵的典型例题。引导考生在较短时间内掌握解有关矩阵问题的要领，并顺利通过研究生入学考试。第二章 几种矩阵的判定和应用2.1逆矩阵2.1.1阶矩阵可逆的定义设是数域上的一个阶方阵，如果存在上的阶方阵，使得(为阶单位矩阵)，则称是可逆的，又称为的逆矩阵。当矩阵可逆时，逆矩阵由惟一确定，记为。2.1.2逆矩阵的性质设,是阶可逆矩阵，则（1）；（2）若，则可逆，且；（3）可逆，且；（4）可逆，且；（5）可逆，且；（6）；（7）如果是矩阵，是阶可逆矩阵，是阶可逆矩阵，则。2.1.3矩阵可逆的条件（1）阶方阵可逆的充分必要条件是；（2）阶方阵
6、可逆的充分必要条件是；（3）阶方阵可逆的充分必要条件是可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为阶单位矩阵；（4）阶方阵可逆的充分必要条件是可以写成一些初等矩阵的乘积；（5）对于阶方阵，若存在阶方阵，使得（或），则可逆，且；（6）阶方阵可逆的充分必要条件是的个特征值不为零。2.1.4求逆矩阵的方法法1：伴随矩阵法：。2阶方阵求逆矩阵：2阶方阵的伴随矩阵具有“主对角元互换，次对角元变号”的规律。设2阶方阵，矩阵的代数余子式，。所以，其伴随矩阵。所以，注：对分块矩阵不能按上述规律求伴随矩阵。法2：初等变换法： 矩阵的阶大于或等于3的一般采用初等变换法（1）（2）（3）当矩阵可逆时，可利用
7、,优点：不需求出的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即可求出。法3：分块对角矩阵求逆：对于分块对角（或次对角）矩阵求逆可套用公式： ，其中均为可逆矩阵。2.1.5求逆矩阵的例子例1 （清华大学）设为主对角线元素为零的4阶实对称可逆矩阵，为4阶单位阵。（1）试计算，并指出中元素满足什么条件时，为可逆矩阵。（2）当可逆时，试证明为对称矩阵。解：（1）设，则。故。即当时，为可逆矩阵。（2）。由于，所以，即是对称矩阵，故是对称矩阵。解题技巧：做本题（1）时，可运用可逆矩阵的充要条件：可逆。做本题（2）时，首先要考虑到对称矩阵的定义：若是对称矩阵，则。像是两矩阵的乘积，应将其化为一个矩阵，再利用对称矩
8、阵的定义来解决。例2 已知，试求和。解：对两边取行列式得，于是，即，故。又因为，其中，可求得，故由得。解题技巧：当我们看到的伴随矩阵，首先应该考虑采用伴随矩阵法来求，因为，所以求的关键是求。又由知，可见求得和后即可得到。对于求解，也可利用来求，根据的特点，可先将化为分块矩阵的形式，如，再通过初等变换法来求，的逆矩阵即可。例3（武汉大学）设矩阵，其中是维列向量，是的转置，又已知。（1）证明: （2）证明: 是可逆矩阵，并求这里是阶单位矩阵。证:（1）显然有（2）显然可求得为对称矩阵且的全部特征值为0(重，1(1重)。那么不妨设可逆矩阵使得。 于是有。显然为可逆矩阵，且有例4 (华中科技大学)设为
9、阶方阵，若存在唯一的阶方阵，使得，证明：。分析:注意反证法的应用。证明:首先证明可逆，利用反证法。若不可逆，那么的秩小于，不妨设，于是有可逆矩阵,，使得，取，显然有，若存在使得，那么对于矩阵，也有，这与的唯一性相矛盾。于是必可逆，那么对左乘，右乘即可得。2.2伴随矩阵2.2.1伴随矩阵的定义若，那么它的伴随矩阵 (其中表示矩阵中元素的代数余子式)。注：，(其中表示矩阵中元素的余子式)。2.2.2伴随矩阵的性质（1）；（2）若可逆，则；（3）（例2）；（4）注意到中的每个元素都是矩阵的阶子式乘以某个值为或的常数，于是对于常数，有。2.2.3有关伴随矩阵的例子例1 (天津大学)设矩阵的伴随矩阵，且
10、，求矩阵。解:由关系式, 可得。注意到是4阶矩阵，有，而。注意到，于是有，可得。在等式的两边取逆，即有，经简单计算有。例2(吉林工业大学，吉林大学)设,，均为阶方阵，求证。证明：（1）当时，且，由公式可得 ， （2）当时，考虑矩阵，由于和都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个，使，。由上面（1）的结论有。令,。由上式得,即有无穷多个使上式成立，但都是多项式，从而上式对一切都成立.特别令，这时有。2.3对角矩阵2.3.1可对角化矩阵的定义如果数域上的阶矩阵可相似于对角矩阵，则称可对角化。2.3.2对角化矩阵判定条件和方法数域上阶矩阵可对角化的判定条件：（1）充分必要条件：有个线性无关的特征向量
11、；（2）充分必要条件：的所有重特征值对应的线性无关特征向量的个数等于其重数；（3）充分必要条件：的最小多项式没有重根；（4）充分必要条件：的不变因子都没有重根；（5）充分条件：有个互异的特征值；（6）充分条件：是实对称矩阵。阶矩阵可对角化的判定方法：第一步：求的全部特征值。设的所有互异特征值为，其重数分别为，且。若，即有个互异的特征值，则可对角化。第二步：对每一特征值，解方程组得对应的线性无关特征向量（即齐次方程组的基础解系）。若某个，即对应的线性无关特征向量的个数小于的重数，则不可对角化；若，则可对角化。第三步：当可对角化时，把个线性无关的特征向量按列构成矩阵，则。注：对角矩阵的对角线元素恰
12、好是的个特征值，且特征值的顺序与的列向量顺序保持一致。2.3.3有关可对角化矩阵的例子例1 设矩阵，已知有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值。试求可逆矩阵，使得为对角矩阵。解：因为有三个线性无关的特征向量，是的二重特征值，所以的对应于的线性无关的特征向量有两个，故。由于解得。所以，矩阵。设是的三个特征值，由已知可知。由，可得。可求得对应于特征值的线性无关特征向量为。而对应于特征值的特征向量为。故可逆矩阵,使得。例2 设矩阵的特征方程有一个二重根，求的值，并讨论是否可相似对角化。解：的特征多项式为。若是特征方程的二重根，则有，解得。当时，的特征值为，矩阵的秩为，故对应的线性无关的特征向量有两
13、个，从而可相似对角化。若不是特征方程的二重根，则为完全平方，从而，解得。当时,的特征值为，矩阵，的秩为，故对应的线性无关的特征向量只有一个，从而不可相似对角化。例3 已知实对称矩阵，求可逆矩阵,使为对角矩阵。解：（法1用配方法）所对应的二次型为。令，即，得。令，即，得标准形。所用可逆线性变换为，即。故可逆矩阵，使得。(法2)可求得，所以的特征值为。又对应特征值的特征向量分别为。单位化得。故可逆矩阵(实际是正交矩阵) ，使得。例4 （天津大学）设三阶实对称矩阵（1）求一个正交矩阵及对角形矩阵，使。（2）求一个对称矩阵使。解：（1）显然易见，可求得的特征多项式为，于是的特征值为。由解得一个基础解系
14、为，由解得一个基础解系为，将单位化，将，先正交化后单位化，之后将这三个向量组成一个正交矩阵为，显然有。（2）显然有，那么有对称矩阵，使得成立。例5（三峡大学） 为正定矩阵，是实对称矩阵。（1）证明存在可逆矩阵使，为对角矩阵。（2）证明的特征值都是实数。解：（1）因为为正定矩阵，为实对称矩阵，则存在可逆矩阵，使，所以为实对称矩阵，所以存在正交矩阵使得。令，显然可逆，。（2）由正定可知正定，由（1）可知，存在可逆矩阵，使得，,，由于，所以。而，所以。由于，所以为的特征值，也为的实根。解题技巧：在解本题时，要用到正定矩阵和对称矩阵的性质。2.4正交矩阵2.4.1正交矩阵的定义如果阶实矩阵满足，则称为正交矩阵。2.4.2正交矩阵的性质（1）如果是正交矩阵，则；（2）如果是正交矩阵，则，均是正交矩阵；而是正交矩阵的充分必要条件是：；（3）如果,是阶正交矩阵，则也是正交矩阵；（
