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1、(完整word版)31_方阵问题_教师版含答案方阵问题知识导航学生排队，士兵列队,横着排叫做行，竖着排叫做列。如果行数与列数都相等，则正好排成一个正方形，这种图形就叫方队，也叫做方阵（亦叫乘方问题）。核心公式：一、实心方阵1方阵总人数=最外层每边人数的平方(方阵问题的核心）=每边数每边数2方阵最外层每边人数=(方阵最外层总人数4）13方阵外一层每边人数比内一层每边人数多24去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数215、每层数=(每边数-1)4二、空心方阵1、外边人数=总人数4层数+层数2、总数=最外层人数2 - 最内层人数2 =（最外层每边数-层数）层数4 =（最外层数+最内层数）层数23、 内
2、层数=外层数84、每层数=(每边数-1）45、实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是4的倍数。例1:学校学生排成一个方阵，最外层的人数是60人，问这个方阵共有学生多少人?解析：方阵问题的核心是求最外层每边人数。根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边人数=四周人数4+1,可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。方阵最外层每边人数：604+1=16（人）整个方阵共有学生人数:1616=256（人）。【巩固1】某校五年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为60人。问方阵外层每边有多少人?这个方阵共有五年级学生多少人？解析：根据四周人数和每边人数的关系可以知：每边
3、人数=四周人数4+1，可以求出方阵最外层每边人数，那么整个方阵队列的总人数就可以求了。解：方阵最外层每边人数:6041=16(人)整个方阵共有学生人数：1616=256（人）答：方阵最外层每边有16人,此方阵中共有256人。【巩固2】晶晶用围棋子摆成一个三层空心方阵，最外一层每边有围棋子14个。晶晶摆这个方阵共用围棋子多少个？解析：方阵每向里面一层,每边的个数就减少2个。知道最外面一层每边放14个,就可以求第二层及第三层每边个数.知道各层每边的个数，就可以求出各层总数。解法1：最外边一层棋子个数：（14-1）4=52(个）第二层棋子个数:（14-2-1)4=44（个)第三层棋子个数：（1422
4、-1）4=36（个)。摆这个方阵共用棋子：52+4436132（个)解法2：还可以这样想：中空方阵总个数=(每边个数一层数)层数4进行计算.（14-3)34=132（个)答:摆这个方阵共需132个围棋子。【巩固3】一个正方形的队列横竖各减少一排共27人,求这个正方形队列原来有多少人？解析:依据:去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21可知每边的人数是：（人）原人数是:（人）【巩固4】小红用棋子摆成一个正方形实心方阵用棋子100枚，最外边的一层共多少枚棋子?解析：这要用到方阵的公式逆运算,100必然是一个数的平方数因为（人）,并且是实心的方阵，所以最外层有10人。例2:参加中学生运动会团体操比赛
5、的运动员排成了一个正方形队列。如果要使这个正方形队列减少一行和一列，则要减少33人。问参加团体操表演的运动员有多少人？解析：如下图表示的是一个五行五列的正方形队列。从图中可以看出正方形的每行、每列人数相等；最外层每边人数是5，去一行、一列则一共要去9人，因而我们可以得到如下公式： 去掉一行、一列的总人数去掉的每边人数21解 ：方阵问题的核心是求最外层每边人数。原题中去掉一行、一列的人数是33,则去掉的一行（或一列)人数 人方阵的总人数为最外层每边人数的平方，所以总人数为（人）【巩固】 参加军训的学生进行队列表演，他们排成了一个七行七列的正方形队列，如果去掉一行一列,请问：要去掉多少名学生?还剩
6、下多少名学生？解析：如上图表示的是一个4行4列的实心正方形队列，从图中可以看出正方形队列的特点：（1)正方形队列每行、每列的人数相等，因此总人数每行人数每列人数。（2)去掉横竖各一排时，有且只有1人是同时属于被减去的一行和一列的，如图中点A所示.因此去掉的总人数原每行人数21，或去掉的总人数减少后每行人数21.本题中所求，即去掉的人数72113（人）或去掉的人数（71)2113（人)还剩的人数（71）(71）36（人）或还剩的人数7713491336(人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名学生，还剩下36名学生。例3：解放军战士排成一个每边12人的中空方阵，共四层，求总人数？解法1：这样想：把
7、中空方阵的总人数，看作中实方阵总人数减去空心方阵人数。（1）中实方阵总人数:1212=144（人）（2)第四层每边人数：12-2（41）=6（人)（3）空心方阵人数:(62)（6-2）=16（人）(4）中空方阵人数：144-16=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=外边人数外边人数(内边人数2）(内边人数-2）解法2：这样想：把中空方阵分成四个相等的长方形。（1）每个长方形的长=外边人数-层数124=8（人）(2）每个长方形的宽是层数：4人（3）总人数：844=128（人）答：总人数是128人。小结：中空方阵总人数=(每边人数层数)层数4【巩固】学校开展联欢会，要在正方形操
8、场四周插彩旗。四个角上都插一面,每边插7面。一共要准备多少面旗子?解析:依据求外层个数的公式：（边数-1）4（面） 例4：一个街心花园如右图所示。它由四个大小相等的等边三角形组成。已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花？整个花园中共栽多少棵花？解析:从已知条件中可以知道大三角形的边长是小三角形边长的2倍。又知道每个小三角形的边上均匀栽9株，则大三角形边上栽的棵数为:（棵）。又知道这个大三角形三个顶点上栽的一棵花是相邻的两条边公有的，所以大三角形三条边上共栽花：（棵）。.再看图中画斜线的小三角形三个顶点正好在大三角形的边上.再计算大三角形栽花棵数时已
9、经计算过一次，所以小三角形每条边上栽花棵数为：（棵)解:大三角形三条边上共栽花：（棵）中间画斜线小三角形三条边上栽花:(棵）整个花坛共栽花:(棵）答：大三角形边上共栽花48棵，整个花坛共栽花69棵。【巩固】同学们做早操，排成一个正方形的方阵，从前、后、左、右数，小明都是第5个，这个方阵共有多少人?解析:如图，实心圆表示小明的位置，可以知道,这个队列每行都是9人。解:每行每列数：（人） 共有：（人)例5：小明用围棋子摆了一个五层中空方阵，一共用了200枚棋子，请问：最外边一层每边有多少枚棋子？解析1：利用“相邻两层之间，每层的总数相差8的特点,可知最外层共有棋子数：（200+8+82+83+84
10、)556（个）最外层每边的棋子数：564+115（个）解析2：如练习中的图,把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子数:200450（个)每一部分每排的棋子数：50510(个)最外层每边的棋子数：10515（个）综合列式为：20045515（个)答：最外边一层每边有15枚棋子。【巩固】游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵，最外边一层每边12人，请问：彩车周围的少先队员共有多少人?解析1:请同学们自己画一个图，下图是一个三层中空方阵的示意图,不难发现，有如下特点:（1）外层每边点的个数都比相邻内层的每边点的个数多2;（2）每相邻两层之间，点的总数相差8个。最外层队员的总
11、数:（人）三层共有队员的总数：=（人）解析2：如下图可分成相等的四部分,每一部分的人数：（123）39327（人)三层共有队员数：274108（人）答：彩车周围的少先队员共有108人。这个问题还有别的解法,请同学们自己试着做一下.例6. 军训的学生进行队列表演,排成了一个7行7列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人?还剩下多少人? 分析与解：如下图: 方法一:去掉的一行一列的人数为: （人) 剩下的人数为: （人) 方法二：去掉后剩下的是6行6列的正方形队列,即 （人） 去掉的人数为: （人） 例7. 光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演,由于服装不够，只好横竖各减少一
12、排，这样共需去掉27人，问四年级原来准备多少人参加表演？ 分析与解：此题刚好是例1的逆向题,根据正方形队列的特点可知： 原每行人数=（去掉一行一列的人数+1）2 即：原来每行人数是 （人） 原来准备参加表演的人数： （人） 答：四年级原准备196人参加表演. 例8. 正方形舞厅四周均匀地装彩灯,如果四个角都装一盏，且每边12盏，那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏? 分析与解：如下图： 方法一：从图(1）可以看出，角上的四盏灯各属于两行，所以彩灯总数应为: （盏） 方法二：按图(2）把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为： (盏） 答:这个舞厅四周共装彩灯44盏。 例9. 游行队伍中，手持鲜花的少先
13、队员在一辆彩车的四周围成每边三层的方阵。最外层每边12人，问彩车周围的少先队员共有多少人？ 分析与解： 方法一：这是一个只有3层的中空方阵，最外层每边有12人，最外层一共有 (人)，第二层每边少2人，即第二层每边10人，第二层共有 （人），比第一层总数少8人,同理,第三层总数是 （人） 三层共有队员的总数: (人） 方法二：如下图,可把队员分成人数相等的四部分,每一部分的人数: （人） 三层共有队员数: （人） 方法三:从12行12列的中实方阵中减去中间的空心方阵，就是队员人数: （人） 例10. 小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵，共用了200个棋子,问最外边一层每边有多少个棋子？ 分析与解
14、： 方法一:利用相邻两层之间，每层的总数相差8的特点。可知最外层共有棋子数： （个) 最外层每边的棋子数： （个） 方法二：如下图,把棋子分成相等的四部分，每一部分的棋子数为: （个），每一部分每排的棋子数为： （个） 最外层每边的棋子数为: （个） 列综合算式: （个） 答:最外层每边有棋子15个。 课后作业1、若干名同学排成中实方阵则多12人，若要将这个方阵改摆成纵横两个方向各增加1人的方阵则还差9人排满，请问：原有学生多少人？解析:由于纵横两个方向各增加1人，因此不但将剩余12人摆上，而且还差9人，说明一横行与一竖行的人数总和是12921人.又由于纵横两个方向各增加1人，因此只有1人同属于横行与纵行，在数每边上的人数时，总被多数一次，因此可以用21人先加上被重复数过的1人,再除以2，也就得到每边人数.列式为（211）211人.求出每边人数,就可求出假设排满后的人数，列式为111
