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1、菁优网Http:/ 初三奥赛训练题07：不定方程 2011 菁优网一、填空题（共20小题，每小题5分，满分100分）1、若是二元一次不定方程ax+by=c（其中（a、b）=1）的一组整数解，则ax+by=c的所有整数解为_2、方程6x+22y=90的非负整数解为_3、方程9x+24y5z=1000的整数解为_4、方程组的非负整数解为_5、方程（xa ）（x8 ）1=0有两个整数根，则a的值是_6、方程5x2xy6=0的整数解为_7、方程xy10（x+y）=1的整数解为_8、满足xy0且x3+7y=y3+7x的整数x=_，整数y=_9、不定方程x2y2=88的整数解是_10、（1）方程xy+1=
2、z的质数解是_；（2）方程（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是_；（3）方程的整数解是_（4）方程2a+2b+2c+2d=20.625的整数解是_11、不定方程a2+b2+c2=a2b2的所有整数解是_12、对于正整数a和b，方程xa+b+y=xayb的所有正整数解是_13、方程6（6a2+3b2+c2）=5n2的所有整数解是_14、方程组的所有正整数解是_15、方程3x28xy+7y24x+2y=109的整数解是_16、方程3x2+7xy2x5y35=0的不同正整数解（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），中x1+x2+x3+xn=_17、写出方程x1+x2+x1998=x
3、1x2x1998的一组正整数解_18、被11除后的商等于被除数中各数字的平方和，试写出所有这样的三位数_19、若1+2+3+k之和为一完全平方数N2，并且N小于100，则K的可能值是_20、两个凸多边形P1与P2边数不同，P1的每个内角为x度，P2的每个内角为kx度，其中k是大于1的整数，那么可能的数对（x、k）有_个答案与评分标准一、填空题（共20小题，每小题5分，满分100分）1、若是二元一次不定方程ax+by=c（其中（a、b）=1）的一组整数解，则ax+by=c的所有整数解为t=0，1，2，考点：二元一次方程的解。专题：计算题；整体思想。分析：由已知可知二元一次不定方程ax+by=c的
4、一组整数解，即一个特解，又由于x=bt，y=at为方程ax+by=0的通解，即可得ax+by=c的所有整数解解答：解：是二元一次不定方程ax+by=c（其中（a、b）=1）的一组整数解，x=x0，y=y0为方程ax+by=c的一个特解，又x=bt，y=at为方程ax+by=0的通解，则ax+by=c的所有整数解为t=0，1，2，故答案为t=0，1，2，点评：本题主要考查二元一次方程的解的问题，利用特解求通解，要认真掌握2、方程6x+22y=90的非负整数解为，考点：解二元一次方程。专题：计算题。分析：首先用其中的一个未知数表示另一个未知数，然后根据x，y都是非负整数进行分析求解解答：解：6x+
5、22y=90，移项化简得：x=，根据题意，y只可取0，3，此时对应的x为15，4故非负整数解为：，故答案为：，点评：本题考查了解二元一次方程，难度不大，关键是先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的适合条件的所有非负整数值，再求出另一个未知数的值3、方程9x+24y5z=1000的整数解为考点：三元一次不定方程。分析：设出参数9x+24y=3t，根据9x+24y5z=1000，得到x、y、z的参数表达式，根据式子特点，即可得方程有无数组整数解解答：解：设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t5z=1000于是原方程可化为用前面的方法可以求得的解为：，u是整数；的解为，v是整数消去t，得
6、，u，v是整数即当u、v取不同整数的时候，会得到相应的x、y、z的整数值，故答案为点评：本题主要考查三元一次不等方程的知识点，解答本题的关键是令9x+24y=3t，根据整数的知识点进行解答，此题难度有点大4、方程组的非负整数解为考点：解三元一次方程组。专题：计算题。分析：先把（2）去分母得到x+9y+15z=300，然后与方程（1）相减得到4y+7z=100，从而得到该方程的整数解，然后代入方程（1）得到x=100（z+y）=843t，继而得出原方程组的整数解，然后再求原方程组的非负整数解即可解答：解：由（2）得x+9y+15z=300（3）由（3）（1）得4y+7z=100从而易知4y+7z
7、=100的一切整数解为将此代入（1）得x=100（z+y）=843t故原方程组的整数解为解不等式组得，故t=0，1，2，3将t的取值代入（4）得，点评：理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出原方程组的整数解，再求解就容易了5、方程（xa ）（x8 ）1=0有两个整数根，则a的值是8考点：一元二次方程的整数根与有理根；一元二次方程的解。专题：计算题。分析：将原方程化为（xa）（x8）=1，根据方程（xa ）（x8 ）1=0有两个整数根，知x为整数，可推知（xa）为整数，则a也为整数解答：解：将原方程化为（xa）（x8）=1因为原方程有整数根，所以x必为整数，故或，解之得或，a=8故答案为8
8、点评：此题考查了一元二次方程的整数根，利用积为整数推出各数的值是解题的关键，注意不要漏解6、方程5x2xy6=0的整数解为考点：非一次不定方程（组）。专题：计算题。分析：先试解，将x=0代入解析式，判断出x=0不是方程的解，将原式变形，推出应为整数，进而推出x的取值，然后计算出y的值即可解答：解：x=0不是方程的解，所以原方程可化为，x、y均为整数，所以应为整数，所以x只能取1，2，3，6从而可求出y可能是1，7，13，29故答案为点评：此题的基本思路是通过推理得出x的整数解，然后计算出y的整数解，体现了不断尝试的探索过程7、方程xy10（x+y）=1的整数解为考点：非一次不定方程（组）。专题
9、：计算题。分析：首先将方程xy10（x+y）=1因式分解，化为（y10）（x10）=101=1011=（101）（1），这样可列出所有的可能，即可求出解答：解：将原方程化为（y10）（x10）=101=1011=（101）（1），所以原方程可化为四个方程组，解得：；故填：点评：此题主要考查了二元二次方程的解法，以及整数根的有关知识，题目比较典型8、满足xy0且x3+7y=y3+7x的整数x=2，整数y=1考点：非一次不定方程（组）。专题：探究型。分析：先把原方程化为（xy）（x2+xy+y2）=7（xy）的形式，xy可得出x2+xy+y2=7，即（xy）2=73xy，再根据（xy）20得出xy
10、，再根据x、y为整数可得出xy的可能值，根据xy0即可求解解答：解：原方程可化为（xy）（x2+xy+y2）=7（xy），xy，xy0，x2+xy+y2=7，即（xy）2=73xy，（xy）20，73xy0，则xy，xy=1或2xy0，x=2，y=1故答案为：2，1点评：本题考查的是非一次不定方程，能根据题意得出xy是解答此题的关键9、不定方程x2y2=88的整数解是或考点：非一次不定方程（组）。专题：探究型。分析：先根据正整数x、y满足此方程可得出xy0，再根据x+y与xy有相同的奇偶性且都是88的因数可得到两组关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的对应值即可解答：解：正整数x、y满足方程
11、时，必有xy0x+yxy0又x+y与xy有相同的奇偶性，原方程（xy）（x+y）=88，右边为偶数，从而x+y与xy均为偶数，又x+y，xy是88的因数，有或由此可解得或故答案为：或点评：本题考查的是非一次不定方程的解及数的奇偶性，能根据题意得出两组关于x、y的二元一次方程组是解答此题的关键10、（1）方程xy+1=z的质数解是x=2，y=2，z=5；（2）方程（其中a是整数x、y、z互不相等）的正整数解是x=2，y=3，z=6；（3）方程的整数解是（4）方程2a+2b+2c+2d=20.625的整数解是a=4，b=2，c=1，d=2考点：一元二次方程的整数根与有理根。专题：计算题；分类讨论。
12、分析：（1）分类讨论：若z为偶数，则因为z是质数，可得到z=2，则有xy=1这样在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数，因此z不可能是偶数，只能是奇数；当z为奇数时，由xy+1=z得xy为偶数，由于奇数的任意次幂是奇数，故x必为偶数，但x是质数解，故x=2，此时方程为2y+1=z，再讨论y的奇偶性即可得到y=2，从而求出z，即可得到所求方程的唯一质数解（2）由于x、y、z互不相等的正整数，故不妨设xyz，则x1，y2，z3，则，得到a=1；由，即，得到1x3从而得到x的值；再由方程可推得，即，则可确定y的值；最后由，得到z的值；由此得到原方程的正整数解（3）因为2009=7241，而
13、41是质数，所以即求方程=7的整数解，则和与是同类二次根式，则求x、y，即求方程的解（其中a，b是正整数），即a+b=7求出a，b即可通过=a，=b或=b，=a计算得到原方程的解（4）由于2a20.62525，则a5，设dcba，若a3，则b2，c1，d0，从而2a+2b+2c+2d23+22+21+2020.625，所以a=4，若b=3时原方程不成立；若b=2，则根据题意得c=1，d=3，即得到原方程的解解答：解：（1）当z为偶数，z是质数，z=2，即xy=1在整数范围内必须x=1或y=0，但0、1均非质数，z不可能是偶数，只能是奇数当z为奇数时，xy+1=z，xy为偶数，而奇数的任意次幂是奇数，x必为偶数，但x是质数解，x=2，此时方程为2y+1=z而当y为奇数时，2y+1是3的倍数，不为质数，所以y只能是偶数，即y=2，这时z=22+1=5所以x=2，y=2，z=5是所求方程的唯一质数解；（2）x、y、z互不相等的正整数，不妨设xyz，则x1，y2，z3，a=1又，即，所以1x3故x=2又方程，即，故2y4，y=3，故z=6；因此，方程的正整数解为x
